餘弦定律何時用？按已知條件選對正弦定律與餘弦定律
正弦定律與餘弦定律的分工很清楚：題目若已知兩隻角（或一角及其對邊），用正弦定律；若已知兩邊及其夾角，或已知三邊，用餘弦定律。判斷的關鍵是「題目給了哪三樣資料」，而不是公式哪個較好背。以下先給一個三步選擇法，再用例題示範，最後整理常見錯誤與溫習建議。文中的方法是通用學習建議，並非官方應試指引。
本文由系統根據一般學習經驗自動整理，只供參考；考試及學校安排請以有關機構最新公布為準。
- 先列出已知的邊和角，再判斷用哪條定律。
- 有兩角或一角及其對邊，用正弦定律。
- 有兩邊及其夾角或三邊，用餘弦定律。
- 餘弦值為負代表鈍角，不是計算錯誤。
- 最大角對最長邊，可用來檢查答案。
先問一句：題目給了我哪三樣資料？
解三角形題目通常涉及三條邊 a、b、c 和三隻角 A、B、C，其中 A 對邊 a，B 對邊 b，C 對邊 c。任何一條定律，都要在「已知三樣資料」的前提下才能開始計算，因此第一步不是背公式，而是把題目給的資料逐項寫下來，並標明每一項是邊還是角。
寫下來之後，對照兩個條件：如果已知的資料裏有「兩個角」或「一個角與它的對邊」，正弦定律就能直接使用；如果已知「兩邊及其夾角」或「三條邊」，就輪到餘弦定律。若三樣資料不屬於以上任何一種，通常要先借助三角形內角和（A + B + C = 180°）或其他條件補足，才可計算。
這個做法的好處，是把「選公式」變成一個可檢查的動作。考試時時間緊迫，憑感覺選定律最容易出錯；養成先列出已知條件的習慣，就能減少來回改動。
正弦定律：有角有對邊時出場
正弦定律寫成 a / sin A = b / sin B = c / sin C。它的結構特點是「邊配它的對角」，所以只要有完整的一組「邊與對角」，再加上另一隻角或另一條邊，就可以解出未知部分。
典型情況有兩種。第一，已知兩角及一邊：例如 A = 40°、B = 65°、a = 8，先用內角和求出 C = 75°，再用正弦定律求 b 和 c。第二，已知兩邊及其中一邊的對角：例如 a = 7、b = 9、A = 35°，用正弦定律求 sin B，再判斷 B 的可能值。
第二種情況要特別小心，因為正弦函數在 0° 至 180° 之間並非一一對應，同一個正弦值可能對應一隻銳角和一隻鈍角，這就是所謂「兩解情況」。解題時應檢查兩隻角加起來是否仍小於 180°，並按題目要求保留合理的答案。
反過來說，如果題目給的是兩邊及其夾角，這三樣資料裏沒有「邊與對角」的完整配對，正弦定律就無從入手，應改用餘弦定律。
餘弦定律：夾角或三邊時出場
餘弦定律寫成 c² = a² + b² − 2ab cos C，另外兩條形式只是把字母輪換。它可以看作是畢氏定理的推廣：當 C = 90° 時，cos C = 0，公式就變成 c² = a² + b²。
第一種適用情況是已知兩邊及其夾角。例如 a = 6、b = 10、C = 60°，直接代入求 c：c² = 36 + 100 − 2 × 6 × 10 × cos 60° = 136 − 60 = 76，所以 c = √76，約等於 8.72。求出第三邊之後，如果想再求角，可以繼續用餘弦定律，或用正弦定律求較小的角，以避免兩解問題。
第二種適用情況是已知三邊求角。例如 a = 5、b = 7、c = 9，要求 C，就把公式改寫成 cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) = (25 + 49 − 81) / (2 × 5 × 7) = −7 / 70 = −0.1，於是 C 約等於 95.7°。負值的餘弦代表鈍角，這個符號本身就是有用的檢查。同理，若要求角 A，則用 cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)；要求角 B，則用 cos B = (a² + c² − b²) / (2ac)。
餘弦定律不需要配對「對角」，所以資料是兩邊一夾角或三邊時，它幾乎是唯一直接的選擇。
三步選擇法與例題示範
把上面的判斷整理成三個步驟。第一步：列出已知的邊和角，並確認每一條邊都配好對角。第二步：查看是否有「兩角」或「一角及其對邊」，有，就用正弦定律。第三步：查看是否有「兩邊及其夾角」或「三邊」，有，就用餘弦定律。若兩者皆無，先利用內角和或其他條件補足三樣資料，再回到第一步。
例題一：已知 A = 50°、B = 70°、a = 9，求 b。這是兩角一邊，用正弦定律，先求 C = 60°，再得 b = 9 sin 70° / sin 50°，約等於 11.04。
例題二：已知 a = 8、b = 5、C = 120°，求 c。這是兩邊一夾角，用餘弦定律：c² = 64 + 25 − 2 × 8 × 5 × cos 120° = 89 + 40 = 129，所以 c 約等於 11.36。注意 cos 120° 是負數，減號之後會變成加號，這是常見的計算陷阱。
例題三：已知三邊為 4、6、7，求最大角。最大角對最長邊，設 C 對邊 7，cos C = (16 + 36 − 49) / (2 × 4 × 6) = 3 / 48 = 0.0625，C 約等於 86.4°。這題用餘弦定律，因為三邊齊備但沒有已知角。
常見錯誤與檢查習慣
第一個常見錯誤，是見到兩條邊就以為可以用正弦定律，忽略了「必須有一組邊與對角」這個條件。第二個錯誤，是在餘弦定律中忘記處理負的餘弦值，或把 − 2ab cos C 的符號寫錯。第三個錯誤，是求角時用了正弦定律而沒有檢查兩解情況，導致漏答或答了不合題意的角。
檢查的方法很簡單：答案中的最大角應該對最長邊；三角形內角和必須是 180°；餘弦值必須在 −1 與 1 之間，若計算出的 cos 值超出這個範圍，就表示前面某一步出了錯。把這些檢查固定成習慣，比重做整題更省時間。
至於是否需要補習，可先分辨自己卡在哪裏：若只是公式記不牢，用免費的短片課程重溫課題已足夠；若是判斷已知條件的思路混亂，則需要針對「選定律」這個步驟多加練習，而不是盲目操練大量題目。
給準備文憑試同學的溫習安排
三角學的題目往往把正弦定律、餘弦定律與面積公式放在同一題之中，因此溫習時宜把三者一起整理成一張「已知條件對應公式」的對照表，並在每個公式旁寫上一個自己計過的例子。這樣做的目的，是讓「選定律」成為看到題目後的第一個反應，而不是臨場摸索。
練習時可以刻意把題目分類：先做一批只考正弦定律的題目，再做一批只考餘弦定律的題目，最後做混合題。分類練習能讓判斷條件的能力變得穩定；混合練習則用來檢查自己是否真的能分辨。每次做錯，應記錄是「選錯定律」還是「計算出錯」，兩者的補救方法完全不同。
小學至初中階段先打好角度、三角形內角和與畢氏定理（勾股定理）的基礎，到高中學習這兩條定律時會順暢得多。若想按年級重溫基礎課題，可參考本網站的年級課題頁。
文憑試數學科要求考生在限定時間內完成多類題目，三角學的應用題有時會與坐標幾何或立體圖形結合，因此溫習時也應留意跨課題的題型。
把定律用於實際情境
餘弦定律和正弦定律不限於考試題目，在實際測量中也有用處。例如要知道兩條小路之間的夾角，或由兩個已知距離和夾角推算第三段距離，都可以用餘弦定律。這類應用題的難點往往不在計算，而在把文字描述轉化為「已知哪三樣資料」的圖形。
應用題的常見情境包括：已知兩邊及夾角求第三邊（用餘弦定律）、已知三邊求角（用餘弦定律的改寫形式）、已知兩角及一邊求另一邊（用正弦定律）。解題時宜先畫一個草圖，標明所有已知的邊和角，再按前述三步選擇法判斷。
若題目要求求面積，可配合面積公式 面積 = (1/2)ab sin C 使用，但要注意選擇合適的兩邊及其夾角。
常見問題
已知兩邊及其中一邊的對角，應該用正弦定律還是餘弦定律？
這種情況通常用正弦定律，因為已有一組「邊與對角」的完整配對。要留意可能出現兩解：同一個正弦值可能對應銳角和鈍角，需檢查兩隻角相加是否小於 180°，再按題意取捨。若改為用餘弦定律，會得到一個二次方程，計算較繁複。
已知三邊求角，為甚麼不可以用正弦定律？
正弦定律需要至少一個已知角，才能建立可用的比例；三邊齊備但沒有已知角時，這個比例無從寫出。餘弦定律的改寫形式 cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) 只需三邊，因此是直接的做法。
計算餘弦定律時，餘弦值出現負數是不是算錯了？
不一定。當夾角是鈍角時，其餘弦值本來就是負數，公式中 − 2ab cos C 會因此變成加號。負的餘弦值代表對應的角大於 90°，屬於正常結果；只有當 cos 值超出 −1 與 1 的範圍時，才表示計算出錯。
甚麼時候需要考慮補習？
可先分辨困難的性質：若只是課堂一時聽不明白，重看短片課程和做基礎題目通常已能補上；若反覆在多個課題上卡住，或需要有人即時指出思路上的盲點，才值得考慮補習。補習形式包括補習社、私人補習、上門補習和網上補習，各有時間與互動上的取捨，價錢亦因形式和地區而異，一般屬浮動範圍，宜先了解清楚再決定。