DSE 數學公式大全：按課題整理
DSE 數學必修部分要記的公式，按課題整理：二次方程、直線與圓、數列、弧長與立體、三角學、統計與概率。
DSE 數學必修部分的試卷沒有公式表，公式要自己記熟。本文按課題整理必記的數學公式，由二次公式到標準差，並指出哪些公式可以從簡單的概念推出來，不必死記。
重點
- 必修部分的試卷沒有公式表。
- 單元一試卷會在需要時印出統計表；單元二試卷提供三角公式。
- 很多公式可以由簡單的概念推出，例如扇形是圓的一部分。
考試有沒有公式表？
必修部分沒有。考評局的評核大綱容許卷一和卷二使用計算機和繪圖儀器，但沒有列出公式表。單元二試卷會提供三角公式，單元一試卷會在需要時印出統計表。
延伸閱讀：DSE 數學考試形式
二次方程、指數和對數
對於 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），二次公式是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。判別式 Δ = b² − 4ac 決定實根的數目：Δ > 0 有兩個實根，Δ = 0 有一個（二重根），Δ < 0 沒有實根。
若兩根為 α 和 β，則 α + β = −b/a，αβ = c/a。題目常要求 α² + β²，它等於 (α + β)² − 2αβ。
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ，aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ，(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ，a⁰ = 1，a⁻ⁿ = 1/aⁿ。
- log(MN) = log M + log N，log(M/N) = log M − log N。
- log Mᵏ = k log M；換底公式：logₐ M = log M / log a。
延伸閱讀：一元二次方程：方法與例題
直線和圓
設 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 兩點，下表的斜率公式、距離公式和中點公式足以應付大部分坐標題目。平行線的斜率相等；互相垂直的兩條直線，斜率的積是 −1。
圓心為 (h, k)、半徑為 r 的圓的方程是 (x − h)² + (y − k)² = r²。如果方程寫成一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，圓心是 (−D/2, −E/2)，半徑是 √((D/2)² + (E/2)² − F)。
坐標公式
| 公式 | 表達式 |
|---|---|
| AB 的斜率 | (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) |
| AB 的距離 | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
| AB 的中點 | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) |
| 把 AB 分為 r : s 的內分點 | ((s x₁ + r x₂)/(r + s), (s y₁ + r y₂)/(r + s)) |
| 點斜式 | y − y₁ = m(x − x₁) |
延伸閱讀：直線的方程
數列和複利息
以 a 表示首項，d 表示公差，r 表示公比。等比數列只有在 −1 < r < 1 時才有無窮項之和。
複利息其實是等比數列：每期利率為 r%，經過 n 期後的本利和是 P(1 + r%)ⁿ。計算折舊時，把加號換成減號。
數列公式
| 項目 | 等差數列 | 等比數列 |
|---|---|---|
| 第 n 項 | a + (n − 1)d | arⁿ⁻¹ |
| 首 n 項之和 | n/2 × [2a + (n − 1)d] | a(rⁿ − 1)/(r − 1)，r ≠ 1 |
| 無窮項之和 | 不存在（除非每一項都是 0） | a/(1 − r) |
延伸閱讀：等差數列與等比數列
弧長、扇形和立體
圓心角為 θ 的弧或扇形，是整個圓的 θ/360，所以兩條公式都可以由圓周 2πr 和圓面積 πr² 推出。相似圖形的面積比等於邊長比的平方，體積比等於邊長比的立方。
求積公式
| 立體 | 體積 | 表面面積 |
|---|---|---|
| 圓柱體 | πr²h | 曲面：2πrh |
| 圓錐體（斜高 l） | ⅓πr²h | 曲面：πrl |
| 球體 | ⁴⁄₃πr³ | 4πr² |
| 角錐體 | ⅓ × 底面積 × 高 | 各面面積之和 |
| 柱體 | 底面積 × 高 | 各面面積之和 |
延伸閱讀：弧長、扇形與求積
三角學
在任何三角形 ABC 中，a、b、c 分別是角 A、B、C 的對邊。以下公式可以求未知的邊、角和面積。已知兩邊及其夾角，或已知三邊時，用餘弦公式。
- sin²θ + cos²θ = 1，tan θ = sin θ / cos θ。
- 正弦公式：a/sin A = b/sin B = c/sin C。
- 餘弦公式：c² = a² + b² − 2ab cos C。
- 面積 = ½ab sin C。
- 海倫公式：面積 = √(s(s − a)(s − b)(s − c))，其中 s = (a + b + c)/2。
延伸閱讀：三角學（二維）
統計、排列組合和概率
必修部分使用總體標準差 σ，即除以 n。除以 n − 1 的樣本標準差 s 屬於單元一。
- 平均數：x̄ = Σx / n。
- 標準差：σ = √(Σ(x − x̄)² / n)。
- 排列：ⁿPᵣ = n! / (n − r)!。
- 組合：ⁿCᵣ = n! / (r!(n − r)!)。
- P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 及 B)。
- 若 A 和 B 是獨立事件，P(A 及 B) = P(A) × P(B)。
怎樣記住公式
要明白公式背後的概念，而不只是記字母。等差數列之和來自把首項和末項配對；扇形面積是圓面積的一部分；當 C 是直角時，餘弦公式就變成畢氏定理。
每星期憑記憶把每條公式寫一次，再與本文核對。半分鐘內能推出來的公式，考試時就不會忘記。
試一題
一個等比數列的首項是 8，公比是 ½。求首 5 項之和及無窮項之和。
提示：用 a(1 − rⁿ)/(1 − r)，這是公比小於 1 時同一條公式的另一種寫法。
答案：S₅ = 8(1 − (½)⁵)/(1 − ½) = 16 × 31/32 = 15.5。無窮項之和是 8/(1 − ½) = 16。
常見問題
DSE 數學會提供公式表嗎？
必修部分沒有列出公式表。單元二試卷會提供三角公式，單元一試卷會在適當時印出統計表。
必修部分應該用哪一條標準差公式？
用總體標準差公式，即除以 n。除以 n − 1 的樣本公式在單元一使用。
需要記海倫公式嗎？
已知三角形三邊而要求面積時，海倫公式最快。也可以先用餘弦公式求一個角，再用 ½ab sin C。
可以把公式存入計算機嗎？
使用計算機內儲存的程式或筆記前，請先查閱考評局對准用計算機的最新規定；無論如何，公式都應該記熟。