排列與組合
加法原理和乘法原理、排列和組合，以及怎樣判斷次序是否重要。整個單元屬非基礎課程，是中五概率中計數的基礎。
學習重點
- 15.1 加法原理和乘法原理。
- 15.2 排列：概念和記法（ⁿPᵣ、nPr）。
- 15.3 不重複的相異物件的排列，包括「三件指定物件相鄰」。不需要學環形排列。
- 15.4 組合：概念和記法（ⁿCᵣ、nCr）。
- 15.5 不重複的相異物件的組合。
先要懂：概率
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 計數原理 | counting principle |
| 加法原理／乘法原理 | addition rule / multiplication rule |
| 排列 | permutation |
| 組合 | combination |
| 階乘 | factorial |
| 排列方法，選取方法 | arrangement, selection |
| 最少，最多 | at least, at most |
標準步驟
第一個問題：次序重要嗎？
| 次序重要（排列：排隊、密碼、座位、職位） | 次序不重要（選取：隊伍、委員會、一手牌） |
|---|---|
| 排列 ⁿPᵣ = n!/(n − r)! | 組合 ⁿCᵣ = n!/[r!(n − r)!] |
- 問自己：如果選出的其中兩項調換位置，結果是否不同？如果是，次序就重要。
- 次序重要：用 ⁿPᵣ（排列全部 n 項用 n!）。次序不重要：用 ⁿCᵣ。
- 檢查大小：ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!，所以排列數一定較大。
「且」相乘，「或」相加
- 選 3 名男生且選 2 名女生：相乘。
- 情況一或情況二：把各情況相加。
常見題型
| 情況 | 方法 |
|---|---|
| A 和 B 必須相鄰 | 把兩人「黏」成一組；排列各組；再乘以 2!（組內的次序） |
| A 和 B 不可以相鄰 | 總數 − 相鄰的數目 |
| 最少一個…… | 總數 − 一個也沒有的數目 |
| 必須包括某人 | 先放入此人，其餘的從其他人中選取 |
| 首尾位置已固定 | 先填首尾，再填中間 |
例題
例 1：把 MATHS 的字母排列，有多少種方法？
5! = 120。
例 2：五個人排成一行，A 和 B 必須相鄰。有多少種排法？
把 AB 黏在一起：4 組 → 4! = 24
A 和 B 可以互換：× 2! = 2
24 × 2 = 48例 3：從 6 名男生中選 3 名，從 5 名女生中選 2 名組成委員會。有多少種選法？
⁶C₃ × ⁵C₂ = 20 × 10 = 200。
例 4：從 6 名男生和 4 名女生中選 4 人，最少有一名女生。有多少種選法？
總數 − 沒有女生 = ¹⁰C₄ − ⁶C₄ = 210 − 15 = 195常見錯誤
- 次序不重要時用 P（或次序重要時用 C）。
- 忘記乘以 2!（黏在一起的一組內的次序）。
- 「最少一個」逐個情況計算，結果漏了或重複計算某些情況。
- 題目需要「且」（相乘）時卻相加。
- 計算環形排列（不需要學，但學生有時會嘗試）。
DSE 怎樣考
- 乙部的概率題會用到 ⁿCᵣ（見中五續概率）。
- 卷二乙部：有條件的排列計數（相鄰、不相鄰、最少一個）。
不敢問的問題
怎樣分辨 P 和 C？
問自己：調換兩個人，結果是否不同？座位不同：是，用 P。同一隊：否，用 C。
為甚麼 0! = 1？
排列「沒有東西」剛好只有一種方法：甚麼都不做。這樣公式也能成立。
為甚麼『最少一個』用『總數減一個也沒有』較容易？
「最少一個」有很多情況（1、2、3……），「一個也沒有」只有一種情況。從總數減去它，又快又穩妥。