圓的方程
圓的方程的標準式和一般式，以及（非基礎）直線與圓的交點和怎樣求切線。這是坐標幾何長題目最常考的課題之一。
學習重點
- 13.1 由已知條件（例如圓心和半徑）求圓的方程。
- 13.1 一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0：求圓心和半徑。
- 非基礎 13.2 直線與圓的交點；交點的數目；切線的方程。
先要懂：直角坐標系、直線的方程、一元二次方程、軌跡、圓的基本性質
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 圓方程 | equation of a circle |
| 標準式，一般式 | standard form, general form |
| 圓心，半徑 | centre, radius |
| 交點 | point of intersection |
| 圓的切線 | tangent to a circle |
| 在圓內／圓上／圓外 | inside / on / outside the circle |
標準步驟
兩種形式
| 形式 | 方程 | 圓心 | 半徑 |
|---|---|---|---|
| 標準式 | (x − h)² + (y − k)² = r² | (h, k) | r |
| 一般式 | x² + y² + Dx + Ey + F = 0 | (−D/2, −E/2) | √[(D/2)² + (E/2)² − F] |
為甚麼：標準式就是距離公式：每一點 (x, y) 與 (h, k) 的距離都是 r。
- 標準式：直接讀出圓心和半徑。小心正負號：(x − 3)² + (y + 2)² = 25 的圓心是 (3, −2)。
- 一般式：先使 x² 和 y² 的係數都是 1，再用圓心 (−D/2, −E/2) 和半徑公式。
- 由標準式化為一般式：展開並合併同類項。由一般式化為標準式：配方。
點在圓內、圓上還是圓外
把該點代入一般式的左方：負數 → 圓內；0 → 圓上；正數 → 圓外。
直線與圓（非基礎）
- 把直線方程的主項變換為 y（或 x）。
- 代入圓的方程，得出 x 的二次方程。
- 用 Δ 判斷：
| Δ | 直線…… |
|---|---|
| > 0 | 與圓相交於 2 點 |
| = 0 | 是切線（1 點） |
| < 0 | 與圓不相交 |
- 要求交點，就解這條二次方程，再代回求 y。
圓上已知點的切線（非基礎）
- 求由圓心到該點的半徑的斜率。
- 切線的斜率 = −1 ÷ 半徑的斜率（切線 ⊥ 半徑）。
- 用點斜式寫出切線的方程。
例題
例 1：兩種形式：圓心是 (3, −2)，半徑是 5。寫出圓的方程的標準式和一般式。
(x − 3)² + (y + 2)² = 25
x² − 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 25
x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0例 2：求 x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0 的圓心和半徑。
圓心 (−2, 3)；半徑 √(2² + 3² + 3) = √16 = 4。
例 3：非基礎：y = x + k 是 x² + y² = 8 的切線。求 k。
x² + (x + k)² = 8
2x² + 2kx + k² − 8 = 0
Δ = (2k)² − 4(2)(k² − 8) = −4k² + 64 = 0
k = 4 或 k = −4例 4：圓上已知點的切線（非基礎）：求 x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 在 (6, 2) 的切線。
圓心 (3, −2)；半徑的斜率 = (2 + 2)/(6 − 3) = 4/3
切線的斜率 = −3/4
y − 2 = −¾(x − 6)
3x + 4y − 26 = 0常見錯誤
- 圓心的正負號：(x − 3)² + (y + 2)² 的圓心是 (3, −2)。
- 由一般式求半徑時沒有開方，或弄錯 F 的正負號。
- 忘記方程中 x² 和 y² 的係數必須相同；如果是 2x² + 2y² + ……，要先把整條方程除以 2。
- 把直線的斜率當作圓上某點的切線斜率。
DSE 怎樣考
- 甲部：由圓心和一點求方程，或由一般式求圓心和半徑；判斷點在圓內還是圓外。
- 乙部（非基礎）：坐標幾何長題目。求圓的方程（經常是外接圓或軌跡），用 Δ = 0 求切線，再求距離、角或面積，有時涉及中三學過的三角形的心。
不敢問的問題
為甚麼圓心是 (−D/2, −E/2)？
展開 (x − h)² 得 −2hx。對比 −2h = D，得 h = −D/2。
怎樣知道甚麼時候用 Δ？
題目說「切線」、「相切」或「只相交於一點」，而你不知道切點時，就用 Δ。
如果 r² 是負數怎麼辦？
那就不是一個真正的圓。先檢查計算，或者題目正是要考這一點。