等差數列與等比數列
等差數列和等比數列、它們的通項和求和，以及無限項之和。整個單元屬非基礎課程，是長題目中較難的課題之一。
學習重點
- 7.1–7.2 等差數列：性質和通項。Tₙ = ½(Tₙ₋₁ + Tₙ₊₁)；kTₙ + a 也是等差數列。
- 7.3–7.4 等比數列：性質和通項。Tₙ² = Tₙ₋₁ × Tₙ₊₁；kTₙ 也是等比數列。
- 7.5 等差數列和等比數列有限項之和。
- 7.6 等比數列無限項之和。
- 7.7 生活中的問題：利息、增長、折舊。
先要懂：數與代數基礎（中一至中二）、百分法、不等式與線性規畫、指數函數與對數函數
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 等差數列 | arithmetic sequence |
| 等比數列 | geometric sequence |
| 首項 | first term |
| 公差 | common difference |
| 公比 | common ratio |
| 通項，第 n 項 | general term, nth term |
| 首 n 項之和 | sum of the first n terms |
| 無限項之和 | sum to infinity |
標準步驟
公式卡
| 等差數列（每次加 d） | 等比數列（每次乘以 r） | |
|---|---|---|
| 通項 | Tₙ = a + (n − 1)d | Tₙ = arⁿ⁻¹ |
| 首 n 項之和 | Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l) | Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)，r ≠ 1 |
| 無限項之和 | — | S∞ = a/(1 − r)，只適用於 −1 < r < 1 |
| 檢驗 | T₂ − T₁ = T₃ − T₂ | T₂/T₁ = T₃/T₂ |
為甚麼是 n − 1：從第 1 項到第 n 項，要走 n − 1 步。
求 a 和 d（或 a 和 r）
- 用公式卡把每個已知條件寫成一條方程。
- 兩個條件得出兩條方程，解聯立方程。
- 等比數列：把一條方程除以另一條，以消去 a。
- 代回求另一個未知數，然後回答題目（Tₙ 或 Sₙ）。
「求最小的 n，使得……」
- 把和或項寫成不等式，例如 Sₙ > 1000。
- 等差數列：這是 n 的二次不等式。解二次方程，然後取下一個整數。
- 等比數列：式子中有 rⁿ。兩邊取對數：n log r > ……（如果 0 < r < 1，log r 是負數，不等號要倒轉）。
- 把 n 和 n − 1 代入原不等式檢查。
例題
例 1：等差數列：a = 5，d = 3。求 T₂₀ 和 S₂₀。
T₂₀ = 5 + 19(3) = 62
S₂₀ = 20/2 (5 + 62) = 670例 2：同一個等差數列：求使 Sₙ > 1000 的最小的 n。
n/2 [10 + 3(n − 1)] > 1000
3n² + 7n − 2000 > 0
根：n = [−7 ± √(49 + 24000)]/6，正根 ≈ 24.7
最小的 n = 25 檢查：S₂₄ = 948，S₂₅ = 1025 ✓例 3：等比數列：12 + 6 + 3 + ……，求無限項之和。
a = 12，r = 1/2，所以 S∞ = 12/(1 − ½) = 24。
例 4：等比數列：3, 6, 12, ……，求使 Tₙ > 10 000 的最小的 n。
3(2ⁿ⁻¹) > 10 000
2ⁿ⁻¹ > 3333.3……
(n − 1) log 2 > log 3333.3……
n − 1 > 11.70
最小的 n = 13 檢查：T₁₂ = 6144，T₁₃ = 12 288 ✓例 5：求 a 和 d：一個等差數列的 T₃ = 11，T₈ = 26。求 a、d 和 T₂₀。另外，一個等比數列的 T₂ = 6，T₅ = 48，求 a 和 r。
等差：a + 2d = 11
a + 7d = 26
相減：5d = 15，d = 3；a = 11 − 6 = 5
T₂₀ = 5 + 19 × 3 = 62
等比：ar = 6
ar⁴ = 48
相除：r³ = 8，r = 2；a = 6 ÷ 2 = 3常見錯誤
- 在 Tₙ 中用了 n 而不是 n − 1。
- |r| ≥ 1 時仍用 S∞（這時總和不會趨向一個定值）。
- 0 < r < 1 時，把對數不等式除以負的對數卻沒有倒轉不等號。
- 取了二次方程較小的根，或把 24.7 向下捨入而不是向上取整。
- 混淆「第 n 項」和「首 n 項之和」。
DSE 怎樣考
- 乙部：由兩個條件求 a 和 d（或 r）；再用和或項求「最小的 n」；經常出現某等差數列的項同時組成等比數列，或由對數構成的數列（等比數列各項的對數組成等差數列）。
- 卷二：通項、求和及無限項之和的題目。
- 生活應用：加薪、儲蓄計劃、n 年的折舊。
不敢問的問題
無限多個數加起來，怎可能得出有限的數？
每一項都比前一項小，所以總和越來越接近某個數，但永遠不會超過它，就像每次都走向牆壁剩餘距離的一半。
怎樣分辨等差還是等比？
相鄰兩項相減：差相同 → 等差數列。相鄰兩項相除：比相同 → 等比數列。
為甚麼要檢查 n 和 n − 1？
確保 n 是第一個符合條件的值，而不只是一個符合條件的值。