數與代數基礎（中一至中二）
DSE 仍然會考、而且每個高中課題都要用到的中一至中二數與代數技巧：有向數、代數式、一元一次方程和公式。中四至中六很多所謂「粗心錯誤」，其實是這些基礎未打穩。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 有向數 | directed number |
| 有效數字 | significant figures |
| 比，率，比例 | ratio, rate, proportion |
| 正比例／反比例 | direct / inverse proportion |
| 代數式 | algebraic expression |
| 一元一次方程 | linear equation in one unknown |
| 聯立方程 | simultaneous equations |
| 代入法／消元法 | substitution / elimination |
| 公式的主項 | subject of a formula |
| 代數分式 | algebraic fraction |
| 最大絕對誤差 | maximum absolute error |
| 相對誤差，百分誤差 | relative error, percentage error |
標準步驟
正負號（有向數）
- 把「減去負數」改成「加」：a − (−b) = a + b。
- 乘或除：同號得正，異號得負。
- 先計算括號和乘方：(−3)² = 9，但 −3² = −9。
為甚麼：減去一筆欠債，等於得到一筆錢。
分數
- 加減：先通分，使分母相同（用最小公倍數）。
- 乘法：分子乘分子，分母乘分母；可以的話先約簡。
- 除法：乘以除數的倒數。
解一元一次方程
- 展開括號。
- 把含 x 的項移到一邊，數字移到另一邊。項越過「=」時要變號。
- 兩邊除以 x 的係數。
- 把答案代回原方程檢查。
為甚麼：方程就像一個天秤，對一邊做甚麼，另一邊也要做同樣的事。
解聯立方程
- 選擇方法：
- 如果其中一條方程已經單獨表示 x 或 y，用代入法；
- 否則用消元法：把方程乘以適當的數，使其中一個未知數的係數相同，再相加或相減。
- 解出其中一個未知數。
- 代回，求另一個未知數。
- 把答案代入兩條方程檢查。
主項變換
- 把新的主項當作未知數。
- 按相反次序還原運算：先處理括號和分數，再處理加減，最後處理乘除。
- 把新的主項寫在左邊。
代數分式
- 把每個分母因式分解。
- 用分母的最小公倍式作公分母。
- 合併分子，每個分子都要保留括號。
- 展開、化簡，再約去公因式。
連比 a : b : c
- 使兩個比中共同的項相等。例如 a : b = 2 : 3 和 b : c = 4 : 5，把 b 化成 12。
- a : b = 8 : 12，b : c = 12 : 15，所以 a : b : c = 8 : 12 : 15。
- 化簡回去檢查：8 : 12 = 2 : 3，12 : 15 = 4 : 5。
度量的誤差
- 最大絕對誤差 = ½ × 量度的最小單位。
- 相對誤差 = 最大絕對誤差 ÷ 量度值。
- 百分誤差 = 相對誤差 × 100%。
- 真確值介乎（量度值 − 最大絕對誤差）與（量度值 + 最大絕對誤差）之間。
想核對答案？分數計算機會顯示每一步。
例題
例 1：解一元一次方程 3(x − 2) = x + 8。
3x − 6 = x + 8 展開
3x − x = 8 + 6 移項
2x = 14
x = 7 檢查：3(5) = 15 = 7 + 8 ✓例 2：用代入法解聯立方程 2x + 3y = 12 和 x − y = 1。
x = y + 1 由第二條方程
2(y + 1) + 3y = 12 代入
5y + 2 = 12
y = 2，x = 3 檢查：2(3) + 3(2) = 12 ✓，3 − 2 = 1 ✓例 3：代數分式：化簡 1/(x − 1) − 1/(x + 2)。
= (x + 2)/[(x − 1)(x + 2)] − (x − 1)/[(x − 1)(x + 2)]
= [(x + 2) − (x − 1)] / [(x − 1)(x + 2)]
= 3 / [(x − 1)(x + 2)]例 4：主項變換：把 v = u + at 的主項變換為 a。
v − u = at
a = (v − u)/t例 5：度量的誤差：一條繩的長度量得 25 cm，準確至最接近的 cm。
最大絕對誤差 = 0.5 cm。相對誤差 = 0.5 ÷ 25 = 0.02。百分誤差 = 2%。真確長度介乎 24.5 cm 與 25.5 cm 之間。
例 6：用消元法解聯立方程 3x + 2y = 16 和 5x − 2y = 8。
(3x + 2y) + (5x − 2y) = 16 + 8 相加：y 項互相抵消
8x = 24
x = 3
3(3) + 2y = 16 代回
2y = 7
y = 3.5 檢查：5(3) − 2(3.5) = 15 − 7 = 8 ✓例 7：分數：計算 2/3 + 3/4 和 5/6 ÷ 10/9。
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12 3 和 4 的 L.C.M. 是 12
5/6 ÷ 10/9 = 5/6 × 9/10 乘以倒數
= 45/60 = 3/4例 8：正負號：計算 −3² − (−2)³ + (−4)(−5)。
−3² = −9 只有 3 被平方
(−2)³ = −8 所以 − (−8) = + 8
(−4)(−5) = 20 同號得正
−9 + 8 + 20 = 19例 9：連比：已知 a : b = 2 : 3 和 b : c = 4 : 5，求 a : b : c。
b 分別是 3 份和 4 份；L.C.M. 是 12
a : b = 2 : 3 = 8 : 12
b : c = 4 : 5 = 12 : 15
a : b : c = 8 : 12 : 15常見錯誤
- 把 (−3)² 寫成 −9。
- 把 −(x − 3) 寫成 −x − 3，正確是 −x + 3。
- 去分母時忘記把每一項都乘以公分母。
- 在代數分式中拆括號時，把 −(x − 1) 寫成 −x − 1。
- 聯立方程只求出一個未知數。
- 太早捨入。計算時保留計算機的完整數值，到最後一行才捨入。
DSE 怎樣考
- 甲部（1）經常有一題 3 分的代數分式或主項變換。
- 聯立方程常出現在應用題中，例如涉及兩個比的題目。
- 卷二有關於有效數字、比和誤差的短題。
- 差不多每一道長題目都會用到這些技巧。
不敢問的問題
為甚麼項越過『=』就要變號？
其實項沒有移動，我們是在兩邊同時減去它。在一邊它被抵消，在另一邊就出現「− 該項」。
為甚麼 (x + 2)/x 不可以直接約去 x？
只可以約去同時乘以整個分子和整個分母的因式。這裏分子中的 x 是加上去的，不是乘上去的。
甚麼時候用代入法，甚麼時候用消元法？
兩種方法都一定可行。如果某個字母已經單獨在一邊，用代入法；否則消元法通常較快。
為甚麼誤差是單位的一半？
「準確至最接近的 cm 是 25 cm」表示 24.5 至 25.5 之間的長度都會寫成 25，所以最多相差 0.5。