圓的基本性質
有關弦、角、圓內接四邊形和切線的圓定理，以及怎樣為每一步寫出正確的理據。這是高中最長的單元，由於要記的性質很多，學生常常覺得困難。
學習重點
- 11.1 弦和弧：
- 11.2 角：
- 11.3 圓內接四邊形：對角之和是 180°；外角等於內對角。
- 非基礎 11.4 四點共圓和圓內接四邊形的判別方法。
- 非基礎 11.5 切線：
- 非基礎 11.6 運用圓的性質作幾何證明（也可以用初中的幾何知識）。
先要懂：幾何與數據基礎（中一至中二）、相似三角形
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 圓心，半徑，直徑 | centre, radius, diameter |
| 弦，弧，弓形 | chord, arc, segment |
| 圓周 | circumference |
| 圓心角／圓周角 | angle at the centre / at the circumference |
| 半圓上的圓周角 | angle in a semicircle |
| 圓內接四邊形 | cyclic quadrilateral |
| 共圓點 | concyclic points |
| 切線，切點 | tangent, point of contact |
| 交錯弓形的圓周角 | angle in the alternate segment |
標準步驟
求角
- 在圖上標出圓心、半徑和所有直角。
- 半徑相等，所以要找等腰三角形。
- 找出以下「五個基本圖形」之一：
| 看到的圖形 | 性質 | 理據（簡寫） |
|---|---|---|
| 同一條弧所對的圓心角和圓周角 | 圓心角 = 2 × 圓周角 | 圓心角兩倍於圓周角 |
| 兩個角對著同一條弧 | 相等 | 同弓形內的圓周角 |
| 以直徑為一邊的三角形 | 90° | 半圓上的圓周角 |
| 圓上的四個點 | 對角之和是 180° | 圓內接四邊形對角 |
| 與圓相切的切線 | 與半徑成 90° | 切線 ⊥ 半徑 |
- 每行只求一個新的角，在括號內寫出理據。
不同課本的理據簡寫略有分別，請用學生自己課本的寫法。
弦的問題
從圓心 O 畫一條垂直於弦的線。這條垂線平分弦，並形成一個可用畢氏定理的直角三角形：r² = d² + (弦長的一半)²，其中 d 是圓心至弦的距離。
證明（非基礎）
- 寫出會用到的「已知」條件。
- 每行先寫陳述，再在括號內寫理據。
- 要證明四點共圓，用以下其中一個判別方法：同弓形內的圓周角的逆定理、對角互補，或外角等於內對角。
- 最後寫出題目要求證明的那句陳述。
例題
例 1：一個圓的半徑是 10 cm，弦 AB = 16 cm。求圓心 O 至 AB 的距離。
設 M 是從 O 到 AB 的垂足。
AM = 16 ÷ 2 = 8 cm （圓心至弦的垂線平分弦）
OM = √(10² − 8²) = 6 cm （畢氏定理）例 2：ABCD 是圓內接四邊形，∠A = 2x，∠C = x + 30°。求 ∠A。
2x + (x + 30°) = 180° （圓內接四邊形對角）
3x = 150°
x = 50°
∠A = 100°例 3：在以 O 為圓心的圓中，∠AOB = 130°，C 在優弧上。求 ∠ACB。
∠ACB = 130° ÷ 2 = 65°（圓心角兩倍於圓周角）。
常見錯誤
- 兩個角對著不同的弧，卻用「圓心角 = 2 × 圓周角」。
- 四邊形有一個頂點不在圓上，卻稱它為「圓內接四邊形」。
- 忘記半徑相等（等腰三角形往往是關鍵）。
- 題目沒有說明或證明某直線是切線，卻用了切線的性質。
- 證明了題目所求的逆命題。
DSE 怎樣考
- 甲部：卷二的求角題（屬於最花時間的題目之一）；弦與畢氏定理的題目。
- 乙部：證明四點共圓或某直線是切線，然後在坐標幾何中運用這個結果。
不敢問的問題
這麼多理據，怎樣記得住？
不用死記一張清單。學好上面五個基本圖形，每個圖形都有它的理據。大部分題目只用到這幾個。
怎樣知道從哪裏開始？
從已知條件開始，把它們標在圖上。然後找半徑（等腰三角形）和五個基本圖形。每求出一個新的角，往往就能求出下一個。
『弓形』究竟是甚麼？
弦與弧之間的區域。「同弓形內的圓周角」是指這些角的頂點都在弦的同一邊。