續多項式

學習重點

• 4.1 多項式的除法（長除法或其他方法）。
• 4.2 餘式定理。
• 4.3 因式定理；用它分解多項式，例如 x³ − a³。
• 非基礎 4.4 多項式的 H.C.F. 和 L.C.M.。
• 非基礎 4.5 有理函數（代數分式）的加、減、乘、除，最多含兩個變數。

先要懂：多項式與因式分解、一元二次方程

重要詞彙

標準步驟

餘式定理

f(x) 除以 (x − a) 時，餘數是 f(a)。除以 (ax − b) 時，餘數是 f(b/a)。

1. 找出令除式等於零的值：x − a 得 a；2x + 1 得 −1/2。
2. 把這個值代入 f(x)。
3. 所得的結果就是餘數，不用做長除法。

*為甚麼：*f(x) = (x − a) × Q(x) + R。代入 x = a，第一部分變成 0，只剩下 R。

因式定理

(x − a) 是 f(x) 的因式，若且唯若 f(a) = 0。

1. 找出令除式等於零的值（x − a 得 a）。
2. 計算 f(a)。
3. 如果 f(a) = 0，(x − a) 是因式；否則不是因式，而 f(a) 就是餘數。

分解三次多項式（不用計算機的解方程功能）

1. 試 x = ±1、±2、±3……（常數項的因數），直至 f(a) = 0。
2. 那麼 (x − a) 是一個因式。
3. 把 f(x) 除以 (x − a)，得出一個二次式。
4. 分解這個二次式（不能分解時用二次公式）。

求未知係數

1. 「f(x) 可被 (x − a) 整除」表示 f(a) = 0。
2. 「f(x) 除以 (x − a) 時餘數是 r」表示 f(a) = r。
3. 兩個條件得出兩條方程，解聯立方程。

H.C.F. 和 L.C.M.（非基礎）

1. 把每個多項式完全因式分解。
2. H.C.F.：取公因式，每個因式取最低的冪。
3. L.C.M.：取所有因式，每個因式取最高的冪。

例題

f(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0，所以 (x + 1) 是因式
f(x) ÷ (x + 1) = x² − 5x + 6
f(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)

f(2) = 16 + 4k − 10 + 2 = 0
4k = −8
k = −2

x² − 1      = (x − 1)(x + 1)
x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
H.C.F. = x + 1
L.C.M. = (x − 1)(x + 1)(x + 2)

常見錯誤

• 除以 (x + 1) 時代入 x = 1（應代入 x = −1）。
• 長除法漏了某些項：要寫成 x³ + 0x² − 8，各項才對齊。
• 找到一個因式便停下：商式的二次式可能還可以再分解。
• 以為「餘數是 0」和「可整除」是兩回事（兩者其實相同）。

DSE 怎樣考

• 甲部（2）：由兩個條件求未知係數，分解一個三次多項式，然後問及它的根（例如「所有根是否都是有理數？」，要用二次因式的判別式判斷）。
• 卷二：餘式定理的題目，經常有兩個未知數；非基礎的 H.C.F.／L.C.M. 和有理函數化簡。

不敢問的問題

中四數學其他課題