一元二次方程
學習用因式分解、二次公式、配方法和圖像解一元二次方程，並用判別式判斷根的性質，以及根之和與根之積。之後差不多每個代數課題都會用到。
學習重點
- 1.1 用因式分解法解方程。
- 1.2 由已知的（實）根建立一元二次方程。
- 1.3 從 y = ax² + bx + c 的圖像讀出 x 截距來解方程。
- 1.4 用二次公式解方程。基礎課程的學生不需要把非實根寫成 a ± bi，也不需要化簡 2√48 一類的根式。
- 1.5 判別式 Δ = b² − 4ac 與根的性質。如果 Δ < 0，要寫「方程沒有實根」。
- 1.6 應用題。
- 非基礎 1.7 根與係數的關係：α + β = −b/a，αβ = c/a；並由此建立方程。
- 1.8 數系（只需欣賞）。
- 非基礎 1.9 複數 a + bi 的加、減、乘、除。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 一元二次方程 | quadratic equation |
| 根 | root |
| 因式分解法 | factor method |
| 二次公式 | quadratic formula |
| 判別式 | discriminant |
| 實根／非實根 | real / nonreal roots |
| 相等的實根（二重根） | equal roots (double root) |
| 根之和，根之積 | sum and product of roots |
| 複數，虛數單位 | complex number, imaginary unit |
| 實部，虛部 | real part, imaginary part |
標準步驟
選擇解法
- 把所有項移到同一邊：ax² + bx + c = 0。
- 先試因式分解（最快），然後令每個因式等於 0。
- 不能因式分解時，用二次公式：x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a。
- 把其中一個根代回方程檢查。
為甚麼因式分解可行：如果 A × B = 0，那麼 A = 0 或 B = 0。所以方程右邊必須是 0。
根的性質
| Δ = b² − 4ac | 根 | y = ax² + bx + c 的圖像 |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 兩個不相等的實根 | 與 x 軸相交於兩點 |
| Δ = 0 | 兩個相等的實根 | 與 x 軸相切於一點 |
| Δ < 0 | 沒有實根 | 與 x 軸不相交 |
「方程有實根」的意思是 Δ ≥ 0。
根與係數的關係（非基礎）
設 ax² + bx + c = 0 的根是 α 和 β：
- α + β = −b/a，αβ = c/a。
- 常用恆等式：α² + β² = (α + β)² − 2αβ；1/α + 1/β = (α + β)/αβ。
- 以 p 和 q 為根的方程：x² − (p + q)x + pq = 0。
複數（非基礎）
- i² = −1。
- 加法和乘法跟代數運算一樣，最後把 i² 換成 −1。
- 除法：分子和分母同時乘以分母的共軛複數（a + bi → a − bi）。
想核對答案？一元二次方程計算機會顯示每一步。
例題
例 1：解 2x² − 5x − 3 = 0。
(2x + 1)(x − 3) = 0
x = −1/2 或 x = 3例 2：解 x² − 4x − 1 = 0。
x = [4 ± √(16 + 4)] / 2
= [4 ± 2√5] / 2
= 2 ± √5例 3：x² + (k − 2)x + 4 = 0 有兩個相等的實根。求 k。
Δ = (k − 2)² − 4(1)(4) = 0
(k − 2)² = 16
k − 2 = ±4
k = 6 或 k = −2例 4：非基礎：α 和 β 是 x² − 3x − 5 = 0 的根。求 α² + β²，並建立以 α + 1 和 β + 1 為根的方程。
α + β = 3，αβ = −5
α² + β² = 3² − 2(−5) = 19
根之和 = (α + 1) + (β + 1) = 5
根之積 = αβ + (α + β) + 1 = −5 + 3 + 1 = −1
所求方程：x² − 5x − 1 = 0例 5：複數（非基礎）：計算 (3 + 2i)(1 − i) 和 (2 + i)/(1 − 2i)。
(3 + 2i)(1 − i) = 3 − 3i + 2i − 2i² = 5 − i
(2 + i)(1 + 2i) / [(1 − 2i)(1 + 2i)]
= (2 + 5i + 2i²) / 5
= 5i / 5
= i常見錯誤
- 右邊不是 0 也用因式分解：x(x − 3) = 4 不能得出 x = 4。
- 兩邊同時除以 x，失去了 x = 0 這個根。
- 二次公式中 b 是負數時的 −b：如果 b = −4，那麼 −b = +4。
- 計算 Δ = b² − 4ac 時漏了 c 的正負號。
- 答「沒有解」，而不是「沒有實根」。
- 計算 α + β 時漏了負號：α + β = −b/a。
DSE 怎樣考
- 甲部（1）／甲部（2）：解一元二次方程，通常是長題目中的一步，例如求圖像與 x 軸的交點。
- 甲部（2）：用 Δ 求 k 的取值範圍，有時放在變分等其他課題的題目中。
- 卷二：根的性質；根與係數的關係（非基礎）；複數運算（非基礎）。
- 乙部：直線與圓相切時 Δ = 0（中五圓方程）。
不敢問的問題
計算機也可以解二次方程，為甚麼還要學公式？
用計算機核對答案沒有問題。但很多題目用字母（例如 k）代替數字，或者要求以根式表示的準確答案，這些只有二次公式和 Δ 才能處理。
i 是甚麼？它是真的嗎？
i 不在數線上。數學家創造了它，使每條一元二次方程都有根。它遵守一般的代數規則，另外只多一條：i² = −1。
為甚麼『沒有實根』和『沒有解』不同？
方程其實有根，只是那些根是複數，不是實數。