根的性質
一元二次方程的標準方法：一步一步的做法和例題。
步驟
| Δ = b² − 4ac | 根 | y = ax² + bx + c 的圖像 |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 兩個不相等的實根 | 與 x 軸相交於兩點 |
| Δ = 0 | 兩個相等的實根 | 與 x 軸相切於一點 |
| Δ < 0 | 沒有實根 | 與 x 軸不相交 |
「方程有實根」的意思是 Δ ≥ 0。
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例題
例 1：x² + (k − 2)x + 4 = 0 有兩個相等的實根。求 k。
Δ = (k − 2)² − 4(1)(4) = 0
(k − 2)² = 16
k − 2 = ±4
k = 6 或 k = −2例 2：非基礎：α 和 β 是 x² − 3x − 5 = 0 的根。求 α² + β²，並建立以 α + 1 和 β + 1 為根的方程。
α + β = 3，αβ = −5
α² + β² = 3² − 2(−5) = 19
根之和 = (α + 1) + (β + 1) = 5
根之積 = αβ + (α + β) + 1 = −5 + 3 + 1 = −1
所求方程：x² − 5x − 1 = 0想看完整課題？閱讀一元二次方程的重點、常見錯誤和 DSE 考法。