函數及其圖像
函數和 f(x) 記法、二次函數的圖像（頂點、對稱軸、截距），以及（非基礎）用配方法求最大值或最小值。這是之後 DSE 卷一圖像題的基礎。
學習重點
- 2.1 函數；定義域和上域；自變量和應變量。
- 2.2 f(x) 記法；用表、代數式和圖像表示函數。
- 2.3 二次函數的圖像：頂點、對稱軸、開口方向、截距；從圖像找出最大值或最小值。
- 非基礎 2.4 用配方法求最大值和最小值；有關最大值和最小值的問題。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 函數 | function |
| 定義域，上域 | domain, co-domain |
| 自變量／應變量 | independent / dependent variable |
| 二次函數 | quadratic function |
| 拋物線 | parabola |
| 頂點 | vertex |
| 對稱軸 | axis of symmetry |
| 向上張開／向下張開 | opens upwards / downwards |
| 極大值／極小值 | maximum / minimum value |
| 配方法 | completing the square |
標準步驟
f(x) 記法
- f(a) 的意思是「把 x 換成 a」。
- 代入時一定要加括號：f(−1) = (−1)² − 6(−1) + 5。
- 按運算次序計算，先算乘方，再算乘法，最後加減。
描繪 y = ax² + bx + c 的圖像
- 開口方向：a > 0 時開口向上（有最小值）；a < 0 時開口向下（有最大值）。
- y 截距：c。
- x 截距：解 ax² + bx + c = 0（如果 Δ ≥ 0）。
- 對稱軸：x = −b/(2a)，或兩個 x 截距的正中間。
- 頂點：把這個 x 值代入函數。
配方法（非基礎）
寫成 y = a(x − h)² + k，頂點就是 (h, k)。
- 從 x² 項和 x 項中提取 a。
- 在括號內加上再減去 (x 係數的一半)²。
- 整理成 a(x − h)² + k。
為甚麼：(x − h)² 永遠不會是負數，所以它的最小值是 0，在 x = h 時出現。
例題
例 1：設 f(x) = x² − 6x + 5，描繪 y = f(x) 的圖像：求 f(−1)、截距和頂點。
f(−1) = 1 + 6 + 5 = 12
y 截距：5
x 截距：(x − 1)(x − 5) = 0，所以 x = 1、5
對稱軸：x = 3（1 與 5 的正中間）
頂點：f(3) = 9 − 18 + 5 = −4，所以頂點是 (3, −4)例 2：非基礎：用配方法求 y = −2x² + 8x − 3 的最大值。
y = −2(x² − 4x) − 3
= −2(x² − 4x + 4 − 4) − 3
= −2(x − 2)² + 8 − 3
= −2(x − 2)² + 5
當 x = 2 時，最大值是 5常見錯誤
- 計算 f(−1) 時沒有加括號：−1² 是 −1，不是 1。
- 頂點 x 坐標的正負號：(x − 3)² 的頂點在 x = +3。
- a ≠ 1 時用配方法，忘記把減去的數乘以 a：−2(−4) = +8。
- 把最低點稱為「最小值」。最小值只是頂點的 y 坐標。
DSE 怎樣考
- 甲部：從圖像或方程讀出頂點、對稱軸或截距；卷二要把圖像與方程配對（a、b、c 的正負號）。
- 乙部：(a) 部用配方法，之後幾部涉及平移後的圖像或幾何性質。
- 應用題：最大面積或最大利潤。
不敢問的問題
函數究竟是甚麼？
一部機器：放入一個輸入，就會得出剛好一個輸出。
為甚麼 (x − 3)² 的頂點在 +3，而不是 −3？
當 x = 3 時，括號等於 0，最低點就在那裏。
為甚麼要加上又減去同一個數？
加 4 再減 4 沒有改變任何東西，但這樣便可以把 x² − 4x + 4 合成一個完全平方。