直線的方程

學習重點

• 10.1 由以下資料求直線的方程：
• 10.1 從方程讀出直線的特徵：斜率、截距、是否通過某一點。斜率與傾角（斜率 = tan θ）。不需要學法線式。
• 10.2 從兩條直線的方程判斷交點的數目（0 個、1 個或無限多個）。

先要懂：直角坐標系、數與代數基礎（中一至中二）

重要詞彙

標準步驟

求方程

1. 求斜率 m（題目給出，或由兩點求出：m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)；平行 → m 相同；垂直 → −1/m）。
2. 找出直線上的一點 (x₁, y₁)。
3. 點斜式：y − y₁ = m(x − x₁)。
4. 整理成題目要求的形式：
   • y = mx + c，或
   • 一般式 Ax + By + C = 0，通常係數是整數，而且 A > 0。

從 Ax + By + C = 0 讀出直線的特徵

較穩妥的做法：自己代入 x = 0 和 y = 0，不用死記公式。

兩條直線

1. 比較斜率：
   • 斜率不同 → 剛好一個交點；
   • 斜率相同、截距不同 → 平行，沒有交點；
   • 同一條直線 → 無限多個交點。
2. 要求交點，就解兩條方程的聯立方程。

某點是否在直線上？

1. 把該點的 x 和 y 代入方程。
2. 計算兩邊的值。
3. 兩邊相等，該點就在直線上；不相等就不在直線上。

例題

y − (−1) = 3(x − 2)
y + 1 = 3x − 6
y = 3x − 7

m = (−4 − 4)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2
y − 4 = −2(x + 1)
y = −2x + 2

斜率 = −3/(−4) = 3/4
x = 0：−4y + 12 = 0，y 截距是 3
y = 0：3x + 12 = 0，x 截距是 −4

2x + y − 5 = 0 的斜率是 −2，所以 L 的斜率是 1/2
y − 1 = ½(x − 4)
2y − 2 = x − 4
L：x − 2y − 2 = 0
解 2x + y = 5 和 x − 2y = 2：
x = 12/5，y = 1/5      交點是 (12/5, 1/5)

(2, 3)：3(2) − 4(3) + 6 = 6 − 12 + 6 = 0     ✓ 在直線上
(1, 2)：3(1) − 4(2) + 6 = 3 − 8 + 6 = 1 ≠ 0  ✗ 不在直線上

常見錯誤

• 把一條直線的斜率當作與它垂直的直線的斜率。
• 把 Ax + By + C = 0 的斜率寫成 A/B（正負號錯了）。
• 一般式中仍有分數；應把整條方程乘以分母。
• 混淆 x 截距和 y 截距。
• 把「斜率相同」當作「同一條直線」。

DSE 怎樣考

• 甲部（2）：求垂直平分線（一種軌跡）的方程，以及圖形的面積。
• 乙部：直線結合圓、三角形的心或動點。
• 卷二：用斜率和截距的正負號，把直線的方程與圖像配對。
• 之後在中五軌跡和圓的方程中都會用到。

不敢問的問題

中四數學其他課題