中三數學

直角坐標系

在坐標平面上描點和求面積、點的變換，以及距離公式、中點公式和斜率公式，包括平行線和垂直線。這些公式之後在直線、軌跡和圓的課題中都會用到。

學習重點

26.1–26.3 描點；水平線和鉛垂線上兩點的距離；坐標平面上多邊形的面積。
26.4 點的變換：
26.5 距離公式。
26.6 中點公式；非基礎內分點。
26.7 斜率公式；截距；已知斜率，求未知的坐標。
26.8 平行線（斜率相等）；垂直線（斜率的積是 −1）。
26.9 用坐標作簡單的證明（例如證明一個三角形是直角三角形）。

重要詞彙

中文	English
直角坐標平面	rectangular coordinate plane
x 坐標，y 坐標	x-coordinate, y-coordinate
原點	origin
距離公式	distance formula
中點公式	mid-point formula
內分點	point of division
斜率	slope
x 截距，y 截距	x-intercept, y-intercept
平移，反射，旋轉	translation, reflection, rotation
順時針／逆時針	clockwise / anticlockwise
共線	collinear

標準步驟

A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 的公式

求	公式	為甚麼
距離 AB	√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]	對水平和鉛垂的距離用畢氏定理
中點	((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)	兩端的平均值
斜率	(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)	鉛垂變化 ÷ 水平變化
把 AB 分成 r : s 的點（非基礎）	((s·x₁ + r·x₂)/(r + s), (s·y₁ + r·y₂)/(r + s))	加權平均；r 較小時，點較接近 A

把兩點標為 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)。
寫出公式，然後代入。負數坐標要加括號：4 − (−2)。
化簡。除非題目要求小數，否則距離以根式表示準確值。
求未知的坐標時，代入已知的斜率或距離，然後解方程。

繞原點旋轉

旋轉	(x, y) 變成
逆時針 90°	(−y, x)
180°	(−x, −y)
順時針 90°	(y, −x)

畫出該點的草圖，判斷它會轉到哪個象限。
按上表的規則計算。
檢查答案是否在第 1 步判斷的象限內。

用坐標求三角形的面積

畫出包住三角形的最小長方形，長方形的邊與坐標軸平行。
求出四角每個直角三角形的面積：½ × 水平距離 × 鉛垂距離，從坐標讀出。
三角形的面積 = 長方形 − 四角的三角形。

證明三點共線

求 AB 的斜率。
求 BC 的斜率。
如果兩個斜率相等，AB 與 BC 平行而且有公共點 B，所以是同一條直線：A、B、C 共線。

例題

例 1：用公式求 A(−2, 1) 和 B(4, 9) 的距離、中點和斜率。

AB   = √[(4 − (−2))² + (9 − 1)²] = √(36 + 64) = 10
中點 = ((−2 + 4)/2, (1 + 9)/2) = (1, 5)
斜率 = (9 − 1)/(4 − (−2)) = 8/6 = 4/3
與 AB 垂直的直線，斜率是 −3/4      （4/3 × −3/4 = −1）

例 2：非基礎：P 把 AB 分成 AP : PB = 1 : 3。求 P 的坐標。

P = ((3(−2) + 1(4))/4, (3(1) + 1(9))/4) = (−1/2, 3)

例 3：繞原點旋轉：把 (3, −1) 繞原點 O 逆時針旋轉 90°。

(3, −1) 在第四象限；逆時針轉四分之一圈後到第一象限
(x, y) → (−y, x)
(3, −1) → (1, 3)      在第一象限，與預期相符

例 4：用坐標求三角形的面積：頂點是 (1, 1)、(7, 3)、(3, 6)。

長方形 6 × 5          = 30
四角的三角形：½·6·2 + ½·4·3 + ½·2·5 = 6 + 6 + 5 = 17
面積 = 30 − 17 = 13

例 5：通過 A(1, k) 和 B(5, 7) 的直線斜率是 1/2。求 k，再求與 AB 垂直的直線的斜率。

AB 的斜率 = (7 − k)/(5 − 1) = 1/2
7 − k     = 2
k         = 5
垂直線的斜率 = −1 ÷ (1/2) = −2      （1/2 × −2 = −1）

例 6：證明 P(−1, −1)、Q(1, 3) 和 R(3, 7) 三點共線。

PQ 的斜率 = (3 − (−1))/(1 − (−1)) = 4/2 = 2
QR 的斜率 = (7 − 3)/(3 − 1)       = 4/2 = 2
PQ 的斜率 = QR 的斜率，而且 Q 是公共點
∴ P、Q、R 共線

常見錯誤

斜率公式中，分子和分母的坐標用了不同的次序相減。
負數坐標的正負號錯誤：4 − (−2) = 6，不是 2。
內分點公式中，把 r 與 x₁ 配對，而不是與 x₂ 配對。
題目說逆時針，卻按順時針旋轉。
垂直線的斜率寫成 3/4（漏了負號）或 −4/3（沒有取倒數）。

DSE 怎樣考

甲部（1）：先變換一個點（旋轉、反射、平移），再用斜率判斷是否共線或垂直。
甲部（2）和乙部：在軌跡和圓的題目中用到這些公式，經常要以根式表示準確距離。
卷二：中點、距離和斜率的題目，以及內分點（非基礎）。
之後在中四直線的方程、中五軌跡和圓的方程中都會用到。

不敢問的問題

哪一點是 (x₁, y₁) 有關係嗎？

沒有關係，只要分子和分母用相同的次序便可以。

為甚麼垂直線的斜率相乘等於 −1？

把直線旋轉 90°，「上升 4、橫移 3」會變成「上升 −3、橫移 4」。新的斜率是 −3/4，而 4/3 × −3/4 = −1。

斜率是 0 或『沒有定義』是甚麼意思？

斜率是 0 的是水平線；沒有定義（水平變化是 0）的是鉛垂線。