中三數學

幾何與數據基礎（中一至中二）

之後 DSE 題目要用到的初中幾何與統計：立體圖形、角與平行線、多邊形、全等三角形、畢氏定理，以及數據的整理和表達。幾何證明要寫的理據，以及統計題要用的讀圖技巧，都來自這裏。

重要詞彙

中文	English
對頂角	vertically opposite angles
同位角／內錯角／同旁內角	corresponding / alternate / interior angles
三角形的外角	exterior angle of a triangle
正多邊形	regular polygon
全等三角形	congruent triangles
等腰三角形	isosceles triangle
畢氏定理	Pythagoras' theorem
斜邊	hypotenuse
頻數分佈表	frequency distribution table
組區間，組中點	class interval, class mark
直方圖	histogram
累積頻數	cumulative frequency
幹葉圖	stem-and-leaf diagram

標準步驟

求角並寫出理據

在圖上標出所有已知的角。
每次只求一個新的角，求出後在括號內寫出理據。
常用理據，以及考試接受的簡寫：

事實	中文簡寫	英文簡寫
直線上的鄰角之和是 180°	直線上的鄰角	adj. ∠s on st. line
同頂角之和是 360°	同頂角	∠s at a pt.
對頂角相等	對頂角	vert. opp. ∠s
平行線的同位角	同位角，AB // CD	corr. ∠s, AB // CD
平行線的內錯角	內錯角，AB // CD	alt. ∠s, AB // CD
同旁內角之和是 180°	同旁內角，AB // CD	int. ∠s, AB // CD
三角形的內角和	三角形內角和	∠ sum of △
三角形的外角	三角形外角	ext. ∠ of △
等腰三角形的底角	等腰三角形底角	base ∠s, isos. △

請對照學生自己的課本，不同課本的簡寫略有分別。

證明兩個三角形全等

按對應頂點的次序寫出兩個三角形（△ABC ≅ △DEF）。
列出三組相等的部分，每行一組，每組附上理據（已知、公共邊、對頂角……）。
寫出全等條件：SSS、SAS、ASA、AAS 或 RHS。
不可以用 AAA 或 SSA，它們不能證明全等。

多邊形的角

內角和 = (n − 2) × 180°。
正 n 邊形的每個外角 = 360° ÷ n。
內角 + 外角 = 180°。

畢氏定理

找出斜邊（直角的對邊）。
斜邊² = 另外兩邊的平方之和。
逆定理：如果 c² = a² + b²，那麼 c 的對角是 90°。

讀累積頻數曲線

中位數在總頻數的一半處。
下四分位數在 ¼ 處，上四分位數在 ¾ 處（中六會用到）。
從頻數軸畫一條水平線到曲線，再垂直向下讀出數值。

例題

例 1：多邊形的角：一個正多邊形的每個內角是 144°。它有多少條邊？

外角 = 180° − 144° = 36°
n = 360° ÷ 36° = 10

例 2：畢氏定理的逆定理：一個三角形的三邊是 5、12 和 13。它是直角三角形嗎？

5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²。是；根據畢氏定理的逆定理，邊 13 的對角是 90°。

例 3：畢氏定理：一把 5 m 長的梯子斜靠在牆上，梯腳離牆 1.4 m。梯子頂端離地多高？

梯子是斜邊（牆腳的直角的對邊）
h² + 1.4² = 5²
h²        = 25 − 1.96 = 23.04
h         = 4.8 m

例 4：求角並寫出理據：AB // CD，一條直線與 AB 交於 P，與 CD 交於 Q，A 和 D 在 PQ 的兩旁。∠APQ = 65°。求 ∠PQD 和 ∠PQC。

∠PQD = ∠APQ = 65°           （內錯角，AB // CD）
∠PQC = 180° − 65° = 115°    （直線上的鄰角）

例 5：證明兩個三角形全等：AB 與 CD 相交於 M，AM = BM，CM = DM。證明 △AMC ≅ △BMD。

AM = BM            （已知）
∠AMC = ∠BMD        （對頂角）
CM = DM            （已知）
∴ △AMC ≅ △BMD      （SAS）

在兩個三角形中，這個角都夾在兩條邊之間，所以是 SAS，不是 SSA。

例 6：讀累積頻數曲線：80 名學生分數的累積頻數曲線經過 (52, 20)、(61, 40) 和 (70, 60)。求中位數和四分位數間距。

中位數：½ × 80 = 第 40 名學生  → 61 分
Q1：    ¼ × 80 = 第 20 名學生  → 52 分
Q3：    ¾ × 80 = 第 60 名學生  → 70 分
四分位數間距 = 70 − 52 = 18 分

常見錯誤

寫「同位角」卻沒有說明哪兩條線平行。
兩條線不平行時也用「內錯角」。
全等三角形的頂點次序寫錯，之後對應的相等邊便對不上。
用 SSA（兩邊及一個非夾角）證明全等。
組距不同時，把直方圖的棒高當作頻數（DSE 通常用相同的組距）。

DSE 怎樣考

甲部（1）的幾何證明經常由全等三角形開始，有時接著證明相似三角形。
卷二有綜合平行線、等腰三角形和多邊形的求角題。
統計題由幹葉圖、頻數分佈表或累積頻數曲線開始。

不敢問的問題

答案對了，為甚麼還要寫理據？

在證明題中，理據就是答案。閱卷員按每一個正確的理據給分。

為甚麼 AAA 不能證明全等？

兩個三角形的角可以相同但大小不同，就像一張相片和它的放大版。AAA 證明的是相似，不是全等。

怎樣知道要用哪些角的性質？

先找平行線，再找等腰三角形，然後用三角形內角和。先試一個，如果求到新的角，就繼續下去。