續三角（三維）
學習在立體圖形中求長度和角，包括直線與平面的交角，以及兩個平面的交角。非基礎部分是長題目中最難的課題之一；三垂線定理由 2026 年 DSE 起納入課程。
學習重點
- 14.6 一點或一條直線在平面上的投影。
- 14.7 直線與平面的交角；兩個平面的交角；傾角。
- 14.8 三垂線定理。
- 14.9 二維和三維問題：兩條直線、直線與平面、兩個平面之間的交角；兩點之間、點與直線之間、點與平面之間的距離。
先要懂：三角學（直角三角形）、續三角（二維）、幾何與數據基礎（中一至中二）、弧長、扇形面積與求積法
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 投影 | projection |
| 直線與平面的交角 | angle between a line and a plane |
| 兩平面的交角 | angle between two planes |
| 交線 | line of intersection |
| 傾角 | inclination |
| 三垂線定理 | theorem of three perpendiculars |
| 空間對角線 | space diagonal |
標準步驟
直線與平面的交角
- 從直線上的一點 P 向平面作垂線，垂足是 N（N 是 P 的投影）。
- 連接 N 與直線和平面的交點 A。
- 所求的角是直角三角形 PAN 中的 ∠PAN。
兩個平面的交角
- 找出兩個平面的交線。
- 在每個平面上各畫一條垂直於交線的直線，兩條直線與交線相交於同一點。
- 這兩條直線的夾角就是兩個平面的交角。
三垂線定理
如果 PN 垂直於一個平面，而平面上的 NM 垂直於平面上的直線 ℓ，那麼 PM 也垂直於 ℓ。
有甚麼用：它告訴我們傾斜的平面上哪一條線垂直於交線，於是可以用直角三角形求兩個平面的交角。
解任何三維問題
- 把平面三角形抽出來。把每個需要用到的三角形重畫成二維草圖，並標出直角。
- 從資料最多的三角形開始。
- 有直角時用畢氏定理或直角三角形的三角比；沒有直角時用正弦公式或餘弦公式。
- 保留計算機的完整數值，到最後才捨入。
例題
例 1：直線與平面的交角：長方體 ABCDEFGH 的底面是 ABCD，AB = 8 cm，BC = 6 cm；E、F、G、H 分別在 A、B、C、D 的正上方，高是 5 cm。求對角線 AG 與底面的交角。
G 在底面上的投影是 C，所以所求的角是 ∠GAC
AC = √(8² + 6²) = 10
tan ∠GAC = GC / AC = 5/10
∠GAC ≈ 26.6°例 2：兩個平面的交角（三垂線定理）：在同一個長方體中，求平面 ABGH 與底面的交角。
交線：AB
在底面上，BC ⊥ AB
GC ⊥ 底面且 BC ⊥ AB，所以 GB ⊥ AB （三垂線定理）
所求的角是 ∠GBC
tan ∠GBC = 5/6
∠GBC ≈ 39.8°例 3：解三維問題：一枝垂直的竿 PN 豎立在水平地面上的 N 點。A 在 N 的正南方 20 m，從 A 看 P 的仰角是 30°。B 在 N 的正東方 15 m。求竿的高度、AB 的距離，以及從 B 看 P 的仰角。
抽出 △PNA（直角在 N）：PN = 20 tan 30° ≈ 11.547 m
抽出 △ANB（直角在 N，正南 ⊥ 正東）：AB = √(20² + 15²) = 25 m
抽出 △PNB（直角在 N）：tan θ = PN/NB = 11.547/15
θ ≈ 37.6°最後一步要用計算機中的 11.547（而不是 11.5）。
常見錯誤
- 把交點處任何一個角當作直線與平面的交角，而不是直線與它的投影所成的角。
- 求兩個平面的交角時，所用的兩條直線並非都垂直於交線，或與交線相交於不同的點。
- 因為在立體圖中「看起來像」直角，就假設某個角是 90°。
- 把邊長捨入至三位有效數字後再用來計算。
DSE 怎樣考
- 乙部：以一個立體（經常是角錐、角柱或摺紙）為題的長題目，先求長度和直線與平面的交角，再求兩個平面的交角，或問「這個角是否在增大？」。
- 卷二乙部：在圖中認出直線與平面的交角，或兩個平面的交角。
不敢問的問題
我看不出立體圖形，是不是我有問題？
不是。幾乎每個人都覺得在紙上看立體圖形很難。可以轉動模型，而且一定要把三角形抽出來畫成二維圖。
怎樣知道要用哪個直角？
找一條鉛垂（垂直於底面）的線：底面上每一條通過它垂足的直線，都與它成 90°。
網上影片教的『兩個平面交角』公式可以用嗎？
捷徑可以幫助檢查答案，但閱卷員要求的是標準方法：先指出是哪個角，再計算。請寫出標準的步驟。