中三數學

三角學（直角三角形）

Q: sin、cos 和 tan 從哪裏來？只是計算機上的按鍵嗎？

它們是每個角對應的固定邊長比。古代天文學家把這些比編成表，計算機只是把表查出來。

Q: 怎樣知道用 sin 還是 sin⁻¹？

求邊用 sin；求角用 sin⁻¹。

Q: 為甚麼俯角等於仰角？

它們是兩條水平（平行）線之間的內錯角。

直角三角形的三角學：正弦、餘弦和正切，30°、45° 和 60° 的準確值，斜率、仰角和俯角，以及方位。這是中四三角學和中五立體問題的基礎。

學習重點

27.1 0° < θ < 90° 時的 sin θ、cos θ、tan θ。
27.2 性質：
27.3 30°、45°、60° 的準確值。
27.4 平面圖形的問題。
27.5 斜率、仰角和俯角、方位（010° 和 N10°E 兩種寫法）。

先要懂：幾何與數據基礎（中一至中二）、相似三角形、根式

重要詞彙

中文	English
正弦，餘弦，正切	sine, cosine, tangent
三角比	trigonometric ratios
對邊，鄰邊，斜邊	opposite side, adjacent side, hypotenuse
仰角／俯角	angle of elevation / depression
方位角	bearing
真方位，羅盤方位	true bearing, compass bearing
傾斜度，傾角	gradient, inclination

標準步驟

選擇三角比

三角比	記法
sin θ = 對邊 ÷ 斜邊	對斜
cos θ = 鄰邊 ÷ 斜邊	鄰斜
tan θ = 對邊 ÷ 鄰邊	對鄰

標出角 θ。
從 θ 的位置標出三條邊：對邊（θ 對面的邊）、鄰邊（θ 旁邊、不是斜邊的邊）、斜邊（直角對面的邊）。
圈出已知的邊和要求的邊，選用包含這兩條邊的三角比。
寫出方程並求解。求角時用 sin⁻¹、cos⁻¹ 或 tan⁻¹。

為甚麼可行：所有含相同角 θ 的直角三角形都是相似的，所以它們的邊之比永遠是同一個數。

準確值

θ	30°	45°	60°
sin θ	1/2	√2/2	√3/2
cos θ	√3/2	√2/2	1/2
tan θ	√3/3	1	√3

不用死記，可以用半個等邊三角形（邊長 1、√3、2）和半個正方形（邊長 1、1、√2）推出來。

仰角、俯角和方位

畫草圖，先畫出水平線。
仰角從水平線向上量度；俯角從水平線向下量度。
方位：真方位從正北順時針量度，用三位數字表示（053°）。羅盤方位從 N 或 S 開始，轉向 E 或 W（N53°E）。
斜率 = 鉛垂距離 ÷ 水平距離 = tan(傾角)。「1 : 4」表示鉛垂距離 1、水平距離 4。

例題

例 1：一名男孩站在離一座大廈底部 50 m 的地方，看大廈頂部的仰角是 32°。求大廈的高度。

tan 32° = h / 50
      h = 50 tan 32°
        ≈ 31.2 m         （準確至三位有效數字）

例 2：一條道路的斜率是 1 : 4。求它的傾角。

tan θ = 1/4，θ ≈ 14.0°。

例 3：一名遠足人士向北行 3 km，再向東行 4 km。求終點與起點的距離，以及終點相對於起點的真方位。

距離 = √(3² + 4²) = 5 km。tan θ = 4/3，θ ≈ 53.1°，所以真方位是 053.1°（N53.1°E）。

例 4：化簡 (1 − cos²θ) / (sin θ cos θ)。

= sin²θ / (sin θ cos θ)      sin²θ + cos²θ = 1
= sin θ / cos θ
= tan θ

例 5：求 sin 60° cos 30° − tan 45° 的準確值。

= (√3/2)(√3/2) − 1 = 3/4 − 1 = −1/4。

常見錯誤

從錯誤的角去標「鄰邊」和「對邊」。
計算機設定在弧度（RAD）而不是度（DEG）。
從鉛垂線開始量度俯角。
逆時針量度方位，或者沒有用三位數字表示。
把 sin²θ 輸入成 sin(θ²)。
中途把角捨入，之後再用這個捨入了的角計算。

DSE 怎樣考

卷二：用 sin(90° − θ) 和 sin²θ + cos²θ = 1 化簡式子；仰角、俯角和方位的題目。
卷一：在較長的幾何題和立體題中用到直角三角形的計算。
不修讀非基礎正弦公式和餘弦公式的學生，仍然處處要用到這個單元。
之後在中四續三角和中五續三角（三維）中會再用到。

不敢問的問題

sin、cos 和 tan 從哪裏來？只是計算機上的按鍵嗎？