中三數學

相似三角形

學習用正確的理據證明兩個三角形相似（AAA、三邊成比例、兩邊成比例且夾角相等），並運用邊、面積和體積的比。幾何證明和相似立體都會用到。

學習重點

22.1 相似三角形：形狀相同，大小可以不同。
22.2 相似的條件：
22.3 相似的平面圖形。四條邊成比例的四邊形不一定相似。

重要詞彙

中文	English
相似三角形	similar triangles
對應邊／對應角	corresponding sides / angles
邊的比	ratio of sides
比例因子	scale factor
等角	equiangular

標準步驟

證明相似

按對應頂點的次序寫出兩個三角形（△ADE ~ △ABC）。
列出相等的角或比，每行一項，每項附上理據。
最後寫出相似條件：「∴ △ADE ~ △ABC（AAA）」。

求邊長

把對應邊寫成比，同一個三角形的邊放在分子：AD/AB = DE/BC = AE/AC。
代入數值，解方程。
檢查：較大的三角形應得出較長的邊。

周界和面積

從一對對應邊求出邊的比。
周界的比 = 邊的比。
面積的比 = (邊的比)²。

為甚麼：面積是兩個長度相乘，所以比例因子用了兩次。

例題

例 1：在 △ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且 DE // BC。AD = 4 cm，DB = 2 cm，DE = 6 cm。求 BC，以及 △ADE 與 △ABC 的面積比。

∠ADE = ∠ABC     （同位角，DE // BC）
∠AED = ∠ACB     （同位角，DE // BC）
∠A  = ∠A        （公共角）
∴ △ADE ~ △ABC   （AAA）
AB = 4 + 2 = 6
DE/BC = AD/AB
6/BC  = 4/6
BC    = 9 cm
面積比 = (4/6)² = 4 : 9

例 2：已知 PQ = 4，QR = 6，RP = 8，XY = 6，YZ = 9，ZX = 12。證明 △PQR 與 △XYZ 相似。

XY/PQ = 6/4  = 3/2
YZ/QR = 9/6  = 3/2
ZX/RP = 12/8 = 3/2
∴ △PQR ~ △XYZ   （三邊成比例）

最短邊對最短邊，最長邊對最長邊：這樣便能找出對應頂點的次序。

例 3：證明相似，再求邊長：AC 與 BD 相交於 O，OA = 4 cm，OC = 6 cm，OB = 6 cm，OD = 9 cm，AB = 5 cm。求 CD。

∠AOB = ∠COD          （對頂角）
OA/OC = 4/6 = 2/3
OB/OD = 6/9 = 2/3
∴ △OAB ~ △OCD        （兩邊成比例且夾角相等）
AB/CD = OA/OC
5/CD  = 2/3
CD    = 7.5 cm

例 4：相似三角形的周界和面積：兩個相似三角形的對應邊分別是 3 cm 和 5 cm。較小的三角形周界是 12 cm，面積是 18 cm²。求較大三角形的周界和面積。

邊的比 = 3 : 5
周界   = 12 × 5/3      = 20 cm
面積   = 18 × (5/3)²   = 18 × 25/9 = 50 cm²

常見錯誤

用 DB 代替 AB：AD 的對應邊是整條 AB。
兩個三角形的頂點次序不對應，結果配錯了邊。
用邊的比計算面積。
課本和閱卷員要求寫「AAA」時寫成「AA」（請對照學生自己的課本）。

DSE 怎樣考

甲部（1）證明題：證明兩個三角形相似，再求邊長、周界或面積。
卷二：利用平行線求邊長，或求圖形其中一部分的面積。
之後：相似立體（體積的比 = 比例因子³，見弧長、扇形面積與求積法），以及圓的基本性質中的證明。

不敢問的問題

怎樣知道哪條邊對應哪條邊？

按角來配對：一個三角形中某個角的對邊，對應另一個三角形中相等的角的對邊。

為甚麼是 AD/AB，而不是 AD/DB？

AD 是小三角形的邊，它的對應邊必須是大三角形的邊，即 AB，而不是 DB 這一段。

為甚麼面積要平方？

把所有長度加倍，長方形會變成兩倍長和兩倍闊，所以面積是原來的 4 倍。