多項式與因式分解
學習展開多項式和因式分解：提取公因式、運用恆等式、分組分解和十字相乘法。這是升中四前最重要的代數技巧，因為一元二次方程、多項式和代數分式都要用到。
學習重點
- 11.1 項、單項式、二項式、次數、係數、常數項、同類項；升冪和降冪排列。
- 11.2 多項式的加、減、乘，包括含多於一個變數的多項式。
- 11.3 因式分解：提取公因式、分組分解、十字相乘法。
- 12.1 恆等式與方程的分別；證明簡單的恆等式。
- 12.2–12.3 運用以下恆等式展開和因式分解：
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 多項式，項 | polynomial, term |
| 單項式，二項式 | monomial, binomial |
| 次數 | degree |
| 係數，常數項 | coefficient, constant term |
| 同類項 | like terms |
| 展開／因式分解 | expand / factorise |
| 公因式 | common factor |
| 分組分解 | grouping terms |
| 十字相乘法 | cross-method |
| 恆等式 | identity |
| 平方差 | difference of two squares |
| 完全平方 | perfect square |
標準步驟
每次都按這個次序嘗試
- 先提取公因式。提取所有項的 H.C.F.；如果第一項是負數，連負號一併提取。
- 數一數有多少項：
- 2 項：是不是平方差 a² − b²？
- 3 項：是不是完全平方？如果不是，用十字相乘法。
- 4 項：兩項一組，每組分解後再提取共同的括號。
- 檢查每個括號，看看能否再分解。
十字相乘法分解 ax² + bx + c
- 列出 a 的因數對（左欄）和 c 的因數對（右欄）。
- 交叉相乘再相加，和必須等於中間項的係數 b。
- 橫向讀出兩個括號。
2x +3 2x × (−5) = −10x
╳ 3x × (+3) = +9x
3x −5 −x ✓ 與 −x 相符所以 6x² − x − 15 = (2x + 3)(3x − 5)。
正負號提示：如果 c 是正數，兩個括號的符號都與 b 相同；如果 c 是負數，兩個符號不同。
證明恆等式
- 從其中一邊開始，通常選較複雜的一邊。
- 展開並化簡，直至等於另一邊。
- 最後寫「∴ 左方 = 右方」。不可以把項移過「≡」的另一邊。
例題
例 1：用十字相乘法分解 6x² − x − 15。
見上面的十字相乘法：(2x + 3)(3x − 5)。
例 2：分解 ax − ay + 2x − 2y。
= a(x − y) + 2(x − y) 兩項一組
= (x − y)(a + 2) 提取共同的括號例 3：分解 x² − y² + 3x − 3y。
（DSE 常見題型：一題用兩種方法。）
= (x + y)(x − y) + 3(x − y)
= (x − y)(x + y + 3)例 4：分解 9x² − 24x + 16。
9x² = (3x)²，16 = 4²，2(3x)(4) = 24x，所以答案是 (3x − 4)²。
例 5：分解 4m² − 25n²。
= (2m)² − (5n)² = (2m + 5n)(2m − 5n)。
例 6：用十字相乘法分解 3x² + 10x − 8。
3x −2 3x × (+4) = +12x
╳ x × (−2) = −2x
x +4 +10x ✓ 與 +10x 相符c 是負數，所以兩個符號不同。3x² + 10x − 8 = (3x − 2)(x + 4)。
常見錯誤
- 忘記先提取公因式，答案未「完全因式分解」。
- 分組時弄錯正負號：−ay − 2y 必須寫成 −y(a + 2)，負號要放在括號外面。
- 把 (a − b)² 展開成 a² − b²。
- 把 a² + b² 當作平方差（它不能在實數範圍內分解）。
- 太早停下：x⁴ − 16 = (x² + 4)(x² − 4) = (x² + 4)(x + 2)(x − 2)。
DSE 怎樣考
- 甲部（1）：一題 3 至 4 分、分兩部分的題目，(b) 部要用到 (a) 部的因式。例如 (a) 部分解一個二次式，(b) 部在四項的分組分解中用到同一個括號。
- 代數分式：合併前先把每個分母因式分解。
- 卷二：簡短的因式分解或展開題。
不敢問的問題
十字相乘法怎樣猜中正確的數？
這不是亂猜，而是有次序地嘗試。先試最接近的因數對。練習多了，通常試兩三對便找到，不用全部試。
怎樣知道已經分解完？
把答案展開來檢查，然後逐個括號看看能否再分解。
= 和 ≡ 有甚麼分別？
方程只對某些 x 值成立；恆等式對所有 x 值都成立。