根式
學習化簡根式、根式的乘除，以及把分母有理化。之後在坐標幾何、三角學和一元二次方程中，都要以根式表示準確答案。
學習重點
- 4.1 n 次方根，例如 ³√8 = 2。
- 4.2 有理數和無理數；在數線上表示它們。
- 非基礎 4.3 簡單的二次根式 a√b：化簡、加、減、乘、除，以及把簡單的分母有理化。課程文件說明不需要處理複雜的混合運算。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 平方根，n 次方根 | square root, nth root |
| 有理數／無理數 | rational / irrational number |
| 根式 | surd |
| 最簡形式 | simplest form |
| 有理化分母 | rationalise the denominator |
標準步驟
兩條規則
- √a × √b = √(ab)
- √a ÷ √b = √(a/b)
- k√a + m√a = (k + m)√a：只有同類根式才可以相加或相減。
但是 √a + √b 不等於 √(a + b)。√9 + √16 = 7，但 √25 = 5。
化簡 √n
- 找出 n 的最大平方因數：4、9、16、25、36、49……
- √n = √(平方數 × 餘下的因數) = √平方數 × √餘下的因數。
- 檢查根號內餘下的數再沒有平方因數：√72 = √(36 × 2) = 6√2，而 2 沒有平方因數。
加減
- 先化簡每個根式。
- 只把同類根式（根號內的數相同）相加，就像合併同類項：2√3 + 3√3 = 5√3。
把分母 √b 有理化
分子和分母同時乘以 √b，因為 √b × √b = b。
例題
例 1：化簡 √12 + √27。
= √(4×3) + √(9×3)
= 2√3 + 3√3
= 5√3例 2：把 6/√3 的分母有理化。
= 6√3 / (√3 × √3)
= 6√3 / 3
= 2√3例 3：運用兩條規則：計算 √8 × √6 和 √72 ÷ √2。
√8 × √6 = √48 = √(16 × 3) = 4√3
√72 ÷ √2 = √36 = 6例 4：計算 (√5 + 2)(√5 − 2)。
= 5 − 4 = 1（平方差）。
例 5：化簡 √50 − √18 + √2。
= 5√2 − 3√2 + √2 = 3√2。
常見錯誤
- 以為 √(a + b) = √a + √b。這是錯的。
- 沒有用最大的平方因數：√48 = 2√12 還未化簡完，要繼續化簡至 4√3。
- 把非同類根式相加：2√3 + 3√2 不能合併。
- 有理化時忘記把分子也乘以 √b。
- 題目要求「以根式表示」，卻用計算機得出小數作答。
DSE 怎樣考
- 乙部的坐標幾何和圓的題目，經常要求以根式表示準確的距離。
- 三角比的準確值：sin 60° = √3/2，tan 30° = 1/√3 = √3/3。
- 二次公式的答案，例如 2 ± √5。
- 卷二：化簡根式。
- 只修讀基礎課程的學生可以用計算機求小數，但仍要在多項選擇題的選項中認出根式答案。
不敢問的問題
計算機已經給出 8.660……，為甚麼還要學根式？
這個小數永遠寫不完，所以任何小數都只是近似值。5√3 才是準確值，而考試要求準確答案。
為甚麼根式不可以留在分母？
留在分母不算錯，但標準寫法是分母為整數，這樣答案較容易比較。
√4 是根式嗎？
不是。√4 = 2 是有理數。根式是指結果為無理數的方根。