整數指數律與科學記數法
學習運用整數指數律、把答案寫成正指數，以及運用科學記數法。DSE 卷一經常以一題指數題開始。
學習重點
- 10.1 正整數指數律。
- 10.2 零指數和負指數：a⁰ = 1，a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a ≠ 0）。
- 10.3 同樣的定律適用於所有整數指數。
- 10.4 科學記數法：a × 10ⁿ，其中 1 ≤ a < 10，n 是整數。
- 非基礎 10.5 二進制和十進制，以及兩者之間的轉換。
- 十六進制只屬增潤內容（已從高中課程刪去）。
先要懂：數與代數基礎（中一至中二）
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 指數 | index (plural indices), exponent |
| 底 | base |
| 冪 | power |
| 零指數，負指數 | zero index, negative index |
| 科學記數法 | scientific notation |
| 二進制／十進制 | binary / denary system |
標準步驟
五條指數律
| 定律 | 一句話解釋 |
|---|---|
| aᵖ × a^q = a^(p+q) | p 個 a，再多 q 個 a |
| aᵖ ÷ a^q = a^(p−q) | 分母的 a 與分子的 a 互相約去 |
| (aᵖ)^q = a^(pq) | q 組，每組 p 個 a |
| (ab)ᵖ = aᵖbᵖ | 每一個 ab 都有一個 a 和一個 b |
| (a/b)ᵖ = aᵖ/bᵖ | 分數的情況也一樣 |
a⁰ = 1，因為 aᵖ ÷ aᵖ = 1。a⁻ⁿ = 1/aⁿ，因為 a⁰ ÷ aⁿ = 1/aⁿ。
- 盡量把各項寫成相同的底（8 = 2³）。
- 每個運算選用相應的定律：乘法把指數相加，除法把指數相減，括號的乘方把指數相乘。
- 由括號內向外計算，每行只用一條定律。
化簡並以正指數表示答案
- 先處理數字。
- 拆括號：括號內每一個因式都要乘方。
- 合併每個字母：相乘時指數相加，相除時指數相減。
- 把負指數移到分數線的另一邊，使所有指數都是正數。
科學記數法
- 移動小數點，使數字介乎 1 與 10 之間。
- 數一數移了多少位：小數點向左移，10 的指數是正數；向右移，指數是負數。
- 相乘時，數字部分相乘，10 的指數相加；然後調整前面的數字，使它介乎 1 與 10 之間。
二進制化為十進制（非基礎）
- 由右至左寫出位值：1、2、4、8、16……
- 把數字是 1 的位值相加。
- 檢查：二進制數的最後一位是 1 時，十進制數才是單數。
例題
例 1：化簡 (2a³b⁻²)² ÷ (4a⁻¹b)，並以正指數表示答案。
(2a³b⁻²)² = 4a⁶b⁻⁴ 每個因式都要平方
4a⁶b⁻⁴ ÷ 4a⁻¹b = a^(6−(−1)) b^(−4−1)
= a⁷ b⁻⁵
= a⁷ / b⁵ 以正指數表示例 2：用五條指數律求 (2³)² × 2⁻⁴ ÷ 2⁰ 的值。
(2³)² = 2⁶ 乘方的乘方：指數相乘
2⁶ × 2⁻⁴ ÷ 2⁰ = 2^(6 − 4 − 0)
= 2² = 4例 3：科學記數法：計算 (3 × 10⁵) × (4 × 10⁻²)。
數字： 3 × 4 = 12
10 的冪：10⁵ × 10⁻² = 10³
12 × 10³ = 1.2 × 10¹ × 10³ = 1.2 × 10⁴ 前面的數字必須介乎 1 與 10 之間例 4：科學記數法：把 0.000 304 和 56 000 000 寫成科學記數法。
0.000 304 → 3.04 小數點向右移 4 位 → 3.04 × 10⁻⁴
56 000 000 → 5.6 小數點向左移 7 位 → 5.6 × 10⁷例 5：二進制化為十進制（非基礎）：把 10110₂ 化為十進制數。
位值： 16 8 4 2 1
數字： 1 0 1 1 0
16 + 4 + 2 = 22 最後一位是 0，所以是雙數 ✓常見錯誤
- 把 (2a³)² 寫成 2a⁶；2 也要平方。
- 把 a³ × a⁴ 寫成 a¹²（指數相乘，而不是相加）。
- 把 6 − (−1) 算成 5。
- 題目要求以正指數表示，最後答案卻仍有負指數。
- 以 12 × 10³ 作答；前面的數字必須小於 10。
- 以為 a⁰ = 0（其實是 1）。
DSE 怎樣考
- 卷一甲部（1），經常是第一題（3 分）：化簡並以正指數表示答案。每用對一條定律都有方法分；答案分要求以正指數表示。
- 卷二：科學記數法、有效數字，以及乙部的二進制數（非基礎）。
- 之後在中四指數函數與對數函數中，有理指數和對數都會用到同樣的定律。
不敢問的問題
為甚麼任何數的 0 次方都等於 1，而不是 0？
把 a³ 除以 a³。按定律，答案是 a⁰；按常理，答案是 1。所以 a⁰ = 1。
負指數是負數嗎？
不是。2⁻³ = 1/8，是正數。負號的意思是「1 除以」。
為甚麼 (−2)² 的負號要平方，−2² 的負號卻不用？
(−2)² 的括號包住了負號，所以負號也被平方。−2² 只有 2 被平方。