續三角（二維）
把 sin、cos 和 tan 看作任何角的函數及其圖像，解簡單的三角方程，以及（非基礎）面積公式 ½ab sin C、正弦公式、餘弦公式和希羅公式。單元的三維部分在中五學習。
學習重點
- 14.1 sin、cos 和 tan 作為函數：圖像、最大值和最小值、周期。化簡含 θ、90° ± θ、180° ± θ、360° − θ 等的式子。
- 14.2 在 0° ≤ θ ≤ 360° 內解 a sin θ = b、a cos θ = b、a tan θ = b。非基礎：其他三角方程；可化為二次方程的三角方程屬於中五續方程。
- 非基礎 14.3 面積 = ½ab sin C。
- 非基礎 14.4 正弦公式和餘弦公式。
- 非基礎 14.5 希羅公式。
先要懂：三角學（直角三角形）、函數及其圖像
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 三角函數 | trigonometric function |
| 週期，週期性 | period, periodic |
| 象限 | quadrant |
| 三角方程 | trigonometric equation |
| 正弦公式／餘弦公式 | sine formula / cosine formula |
| 希羅公式 | Heron's formula |
| 夾角 | included angle |
標準步驟
各象限的正負號：「ASTC」
| 象限 | 角 | 正值 |
|---|---|---|
| 第一 | 0°–90° | All：全部 |
| 第二 | 90°–180° | Sin |
| 第三 | 180°–270° | Tan |
| 第四 | 270°–360° | Cos |
化簡 sin(180° − θ) 一類的式子
- 假設 θ 是一個小的銳角，找出整個角在哪個象限。
- 用 ASTC 判斷正負號。
- 180° ± θ 和 360° − θ 保持同一個函數（sin 仍是 sin）；90° ± θ 和 270° ± θ 則 sin 與 cos 互換（tan 變成 1/tan）。
例如 sin(180° − θ) = sin θ，cos(180° + θ) = −cos θ，sin(90° + θ) = cos θ。
解 a sin θ = b（0° ≤ θ ≤ 360°）
- 把 sin θ 寫成主項。
- 用計算機和正值求出參考角 α。
- 用 ASTC 選出正負號正確的象限。
- 寫出每個答案：第二象限 → 180° − α；第三象限 → 180° + α；第四象限 → 360° − α。
選用哪條三角形公式（非基礎）
| 已知 | 用 |
|---|---|
| 兩邊及其夾角；求第三邊 | 餘弦公式：c² = a² + b² − 2ab cos C |
| 三邊；求一個角 | 餘弦公式：cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) |
| 兩角及一邊，或一邊及其對角再加另一個資料 | 正弦公式：a/sin A = b/sin B = c/sin C |
| 兩邊及其夾角；求面積 | ½ab sin C |
| 三邊；求面積 | 希羅公式：√[s(s − a)(s − b)(s − c)]，s = (a + b + c)/2 |
- 列出已知的資料：哪些邊、哪些角，以及已知的角是否夾在兩條已知邊之間。
- 對照上表選出合適的一行，代入前先寫出公式。
- 每求出一個新數值，再對照上表決定下一步。用正弦公式求出的角，可能還有一個鈍角答案（180° − θ）。
例題
例 1：在 0° ≤ θ ≤ 360° 內解 5 sin θ + 3 = 0。
sin θ = −0.6
參考角 α = sin⁻¹(0.6) ≈ 36.87°
sin 在第三和第四象限是負數
θ ≈ 180° + 36.87° = 216.9° 或 θ ≈ 360° − 36.87° = 323.1°例 2：非基礎：在 △ABC 中，a = 8，b = 5，C = 60°。求面積和 c。
面積 = ½(8)(5) sin 60° = 10√3 ≈ 17.3
c² = 8² + 5² − 2(8)(5) cos 60° = 64 + 25 − 40 = 49
c = 7例 3：非基礎：A = 40°，B = 65°，a = 10。求 b。
b / sin 65° = 10 / sin 40°
b = 10 sin 65° / sin 40° ≈ 14.1例 4：非基礎：求三邊是 13、14、15 的三角形的面積。
s = 21
面積 = √[21(8)(7)(6)] = √7056 = 84例 5：非基礎：選用哪條三角形公式？一個三角形的三邊是 7、8 和 9。求它最大的角。
已知三邊，求一個角 → 餘弦公式
最大的角 C 是最長邊 9 的對角
cos C = (7² + 8² − 9²)/(2 × 7 × 8) = 32/112
C ≈ 73.4°常見錯誤
- 解 sin θ = −0.6 時輸入 sin⁻¹(−0.6)，答 −36.9°，這個角不在 0° 至 360° 之內。
- 有兩個答案時只寫一個。
- 餘弦公式：漏了「2ab cos C」，或用錯了角（C 必須是 c 的對角）。
- 已知的角不是已知邊的對角，卻用正弦公式。
- 計算機設定在弧度（RAD）模式。
DSE 怎樣考
- 卷二甲部：化簡含 180° ± θ 的式子；從 y = a sin bx 的圖像讀出特徵；解簡單的三角方程。
- 乙部（非基礎）：正弦公式和餘弦公式，經常是三維題目中的一個步驟（見中五續三角（三維））。
- 卷一：在較長的題目中用 ½ab sin C 或希羅公式求面積。
不敢問的問題
為甚麼會有兩個答案？
正弦是一條波浪形的曲線。在 0° 至 360° 之間，高度為 −0.6 的水平線會與一個完整的波相交兩次。
怎樣記得哪些角會令 sin 和 cos 互換？
90° 和 270° 在鉛垂的軸上：要互換。180° 和 360° 在水平的軸上：保持不變。
可以一直用餘弦公式代替正弦公式嗎？
很多時可以，但不是每次都可以。按已知的資料，對照上表選用公式。