變分
正變、反變、聯變和部分變，以及怎樣從已知數據求出常數。整個單元都屬基礎課程，DSE 經常把它與其他課題結合起來考。
學習重點
- 6.1 正變和反變；生活中的問題。
- 6.2 正變和反變的圖像。
- 6.3 聯變和部分變；生活中的問題。
先要懂：數與代數基礎（中一至中二）、百分法
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 隨……正變 | varies directly as |
| 隨……反變 | varies inversely as |
| 聯變 | joint variation |
| 部分變 | partial variation |
| 變分常數 | variation constant |
標準步驟
把文字寫成方程
| 文字 | 方程 |
|---|---|
| y 隨 x 正變 | y = kx |
| y 隨 x² 正變 | y = kx² |
| y 隨 x 反變 | y = k/x |
| y 隨 x 和 z 聯變 | y = kxz |
| y 隨 x 正變，並隨 z 反變 | y = kx/z |
| y 部分是常數，部分隨 x 正變 | y = a + bx（兩個常數） |
| y 部分隨 x 正變，部分隨 x² 正變 | y = ax + bx² |
解變分問題
- 寫出含 k 的方程（部分變則用 a 和 b）。
- 代入已知數值求 k。部分變需要兩組數值，並解聯立方程。
- 寫出代入 k 值後的完整方程。
- 用這條方程回答問題。
百分變化
把每個新數值寫成一個因子（+20% → 1.2），把因子代入方程，再與 1 比較。不用求 k。
例題
例 1：y 隨 x² 正變，並隨 z 反變。當 x = 2、z = 3 時，y = 12。求當 x = 3、z = 27 時 y 的值。
y = kx²/z
12 = k(4)/3，所以 k = 9
y = 9(3²)/27 = 3例 2：在例題 1 中，x 增加 20%，z 減少 10%。求 y 的百分變化。
新的 y = k(1.2x)² / (0.9z) = (1.44 / 0.9) × kx²/z = 1.6y
y 增加 60%例 3：印刷 n 本書的費用 $C 部分是常數，部分隨 n 正變。印 100 本需 $3500，印 250 本需 $5000。以 n 表示 C。
C = a + bn
3500 = a + 100b
5000 = a + 250b
相減：1500 = 150b，所以 b = 10，a = 2500
C = 2500 + 10n常見錯誤
- 把「正變」寫成 y = x + k（應該是 y = kx）。
- 部分變只用一個常數。
- 把「隨 x 的平方根反變」寫成 k/x²，而不是 k/√x。
- 百分變化：把百分率相加（+20% 和 −10%），而不是把因子相乘。
DSE 怎樣考
- 甲部（2）：用兩組數據求部分變的方程，再接著問相關問題，例如某個費用可印多少本，或用判別式求數值的範圍。
- 卷二：y 的百分變化；選出正變或反變的圖像（通過原點的直線，或類似 y = k/x 的曲線）。
不敢問的問題
k 是甚麼？
在這個情況下連繫 x 和 y 的一個固定的數。求出一次後，題目其他部分都用它。
怎樣知道是部分變？
題目有「部分……部分……」的字眼，或者費用由固定部分加上會增長的部分組成。
為甚麼百分變化不用求 k？
前後的 k 相同，比較時會互相約去。