指數函數與對數函數
學習對數定律、解指數方程和對數方程，以及它們的圖像。整個單元屬非基礎課程，但對目標第 4 級或以上的學生非常重要。
學習重點
- 3.1–3.2 有理指數：a^(1/n) = ⁿ√a，a^(m/n) = (ⁿ√a)^m；指數定律。
- 3.3 對數及其性質，包括換底公式。
- 3.4 y = aˣ 和 y = logₐx 的圖像：定義域、遞增或遞減、對 y = x 對稱、截距。
- 3.5 指數方程和對數方程。可化為二次方程的方程（例如 4ˣ − 3·2ˣ − 4 = 0）屬於中五續方程。
- 3.6 應用：黎克特制、分貝。
- 3.7 對數的歷史（只需欣賞）。
先要懂：整數指數律與科學記數法、函數及其圖像
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 有理指數 | rational index |
| 指數函數 | exponential function |
| 對數，底 | logarithm, base |
| 常用對數 | common logarithm (log) |
| 對數函數 | logarithmic function |
| 換底公式 | change of base formula |
| 指數方程 | exponential equation |
| 對數方程 | logarithmic equation |
標準步驟
一個重點：對數就是指數
對數是乘方的逆運算。「logₐN = x」的意思是「aˣ = N」。所以 log₂32 問的是「2 的多少次方等於 32？」答案是 5。
性質
| 定律 | 為甚麼 |
|---|---|
| logₐ1 = 0，logₐa = 1 | a⁰ = 1，a¹ = a |
| log MN = log M + log N | 冪相乘時指數相加 |
| log (M/N) = log M − log N | 冪相除時指數相減 |
| log Mᵏ = k log M | (aˣ)ᵏ = a^(kx) |
| log_b N = logₐN / logₐb | 換底公式，這樣便可以用計算機的 log（以 10 為底） |
以下不是定律：log(M + N) ≠ log M + log N；(log M)/(log N) ≠ log(M/N)。
- 把每一項寫成單一個數或字母的對數，係數寫在前面。
- 每行只用表中的一條定律：先把係數移上去變成指數，再合併加減。
- 檢查有沒有用了上面那些「不是定律」的寫法。
解 aˣ = N（x 在指數上）
- 兩邊取對數：x log a = log N。
- x = log N ÷ log a。
- 用計算機計算，到最後才捨入，通常準確至三位有效數字。
解對數方程
- 用定律把每一邊化成單一個對數。
- 去掉對數：logₐ(式子) = c 變成 式子 = aᶜ。
- 檢查每個答案：在原方程中，每個對數內的式子都必須是正數。
圖像
- y = aˣ（a > 1）：通過 (0, 1)，永遠在 x 軸上方，遞增。
- y = logₐx（a > 1）：通過 (1, 0)，只在 x > 0 時有定義，遞增。
- 兩者互為對 y = x 的反射。
- 0 < a < 1 時，兩者都遞減。
例題
例 1：求 8^(2/3) 的值。
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4。
例 2：解 3^(x+1) = 20，答案準確至三位有效數字。
(x + 1) log 3 = log 20
x + 1 = log 20 / log 3 ≈ 2.7268
x ≈ 1.73例 3：解 log₂(x + 1) = 3。
x + 1 = 2³ = 8
x = 7 檢查：log₂8 = 3 ✓例 4：把 log 8 / log 4 化為一個數。
log 8 / log 4 = 3 log 2 / (2 log 2) = 3/2。
例 5：運用對數的性質：把 log 12 − log 3 + 2 log 5 寫成單一個對數，然後求它的值。
2 log 5 = log 5² = log 25
log 12 − log 3 + log 25 = log (12 ÷ 3 × 25)
= log 100
= 2常見錯誤
- 把 log(x + 3)「拆開」成 log x + log 3。
- 把 log 8 / log 4 化簡成 log 2。
- 忘記捨棄令對數內的式子等於零或負數的答案。
- 在 3^(x+1) 中，未展開便除以 log 3，結果漏了括號。
- 以為 y = aˣ 的圖像會與 x 軸相交（它永遠不會）。
DSE 怎樣考
- 乙部：對數方程，經常化為二次方程（中五的技巧），或對數聯立方程。
- 卷二乙部：化簡有理指數；對數定律；y = aˣ 和 y = logₐx 的圖像；從直線圖像讀出 log y 與 x 的線性關係。
- 生活應用：給出公式的黎克特制或分貝題目。
不敢問的問題
對數究竟有甚麼用？
它回答「多少次方？」這個問題。沒有對數，就解不到 3ˣ = 20，因為 x 卡在指數上。
為甚麼一定要檢查答案？
平方或去掉對數時，可能產生不適用於原方程的答案。負數的對數是不存在的。
計算機用的是哪一種對數？
「log」以 10 為底，「ln」以 e 為底。在這個單元，用換底公式時兩者都可以，只要分子和分母用同一種便可。