中三數學

弧長、扇形面積與求積法

弧長、扇形面積，以及角柱、圓柱、角錐、圓錐和球體的表面面積和體積，包括平截頭體和相似立體。DSE 卷一經常有一題立體圖形題。

學習重點

16.1–16.2 弧長和扇形面積的公式；弧長與圓心角成正比。
16.3 複合圖形的周界和面積。
18.1 角柱、圓柱、角錐、圓錐和球體的體積；立體圖形的高。
18.2 直角柱、圓柱、正角錐、直立圓錐和球體的表面面積。
18.3 相似圖形：長度、面積和體積；平截頭體。
18.4 涉及體積和表面面積的問題。

重要詞彙

中文	English
弧，弧長	arc, arc length
扇形	sector
圓心角	angle at the centre
角柱，角錐	prism, pyramid
圓柱，圓錐，球體，半球體	cylinder, cone, sphere, hemisphere
平截頭體	frustum
斜高	slant height
曲面面積，總表面面積	curved surface area, total surface area
體積，容量	volume, capacity
相似立體	similar solids

標準步驟

扇形：圓的一部分

所佔的部分 = θ / 360°。

弧長 = 2πr × θ/360°
扇形面積 = πr² × θ/360°
扇形周界 = 弧長 + 2r

公式表

立體	體積	表面面積
角柱、圓柱	底面積 × 高	圓柱的曲面面積 = 2πrh
角錐、圓錐	⅓ × 底面積 × 高	圓錐的曲面面積 = πrl（l = 斜高）
球體	(4/3)πr³	4πr²

為甚麼有 ⅓：三個相同的角錐可以拼成一個立方體。圓錐就是「圓形的角錐」。

相似圖形

如果長度的比例因子是 k：

面積的比 = k²；
體積的比 = k³。

平截頭體

平截頭體的體積 = 大圓錐的體積 − 頂部切去的小圓錐的體積。小圓錐與大圓錐相似。

把圓錐補回完整。用相似三角形求小圓錐的高（或半徑）。
計算兩個圓錐的體積，V = ⅓πr²h。
相減：平截頭體 = 大圓錐 − 小圓錐。用體積的比 = (比例因子)³ 檢查。

熔化再鑄造

體積不變。設兩個體積相等，然後求解。

寫出原來立體的體積。
寫出新的一個或多個立體的總體積，其中包含未知數。
設兩者相等並求解。立體熔化後體積不變，但表面面積會改變。

例題

例 1：一個扇形的半徑是 9 cm，圓心角是 80°。求弧長、面積和周界。

弧長 = 2π(9) × 80/360 = 4π ≈ 12.6 cm
面積 = π(9²) × 80/360 = 18π ≈ 56.5 cm²
周界 = 4π + 18 ≈ 30.6 cm

例 2：一個直立圓錐的底半徑是 6 cm，高是 8 cm。求斜高、體積和曲面面積。

斜高 l   = √(6² + 8²) = 10 cm
體積     = ⅓π(6²)(8) = 96π cm³
曲面面積 = π(6)(10) = 60π cm²

例 3：在例題 2 的圓錐高度一半的位置，平行於底面切開。求所得平截頭體的體積。

小圓錐 : 大圓錐，長度的比 = 1 : 2
體積的比 = 1 : 8
平截頭體 = 大 − 小 = 96π × (1 − 1/8) = 84π cm³

例 4：兩個相似圓柱的高分別是 4 cm 和 6 cm，較小的圓柱體積是 40 cm³。求較大圓柱的體積。

體積的比 = (4/6)³ = 8 : 27
較大的體積 = 40 × 27/8 = 135 cm³

常見錯誤

在 πrl 中用了垂直高度而不是斜高，或在計算體積時用了斜高。
圓錐和角錐忘記乘以 ⅓。
用長度的比計算體積（必須立方）。
題目給出平截頭體的高，卻把它當作切去的小圓錐的高。
求總表面面積時漏了底面（或頂面）。
單位混淆：cm³ 和 m³，或以 L 表示的容量（1 L = 1000 cm³）。

DSE 怎樣考

甲部（2）：一題分幾部分的立體題，經常涉及平截頭體、相似立體或熔化再鑄造，最後一部分要求「解釋」並比較兩個數值。
卷二：扇形面積、複合圖形，以及相似立體的體積比。

不敢問的問題

斜高還是高，怎樣分辨？

高是垂直向上、與底面成直角的距離；斜高沿著傾斜的表面量度。體積用高，曲面面積用斜高。

為甚麼平截頭體的體積不是『半個圓錐』？

下半部比較粗。在一半高度切開，只切去 1/8 的體積。

『熔化再鑄造』是甚麼意思？

把金屬熔掉，再鑄成另一個形狀。過程中沒有損失，所以體積不變。