軌跡
學習用文字描述軌跡和求軌跡的方程，包括垂直平分線和圓。這是一個短的單元，但經常在坐標幾何題中出現。
學習重點
- 12.1 甚麼是軌跡。
- 12.2 描述和描繪以下各點的軌跡：
- 12.3 求簡單軌跡的方程：直線、圓和拋物線（y = ax² + bx + c）。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 軌跡 | locus (plural loci) |
| 動點 | moving point |
| 等距 | equidistant |
| 垂直平分線 | perpendicular bisector |
| 角平分線 | angle bisector |
| 拋物線 | parabola |
標準步驟
五個基本軌跡
| 條件 | 軌跡 |
|---|---|
| 與點 C 的距離是 r | 以 C 為圓心、r 為半徑的圓 |
| 與 A 和 B 距離相等 | AB 的垂直平分線 |
| 與一條直線的距離是 d | 兩條與它平行的直線，兩邊各一條 |
| 與兩條平行線距離相等 | 兩線正中間的平行線 |
| 與兩條相交直線距離相等 | 兩條角平分線 |
求軌跡的方程
- 設動點為 P(x, y)。
- 先用文字寫出條件，再用距離公式表示。
- 兩邊平方，去掉根號。
- 展開並化簡。
- 說出它是甚麼（「軌跡是一條直線／一個圓／一條拋物線」），題目要求時加以描述。
「描述幾何關係」
說出軌跡是甚麼，以及它與已知的點或線有甚麼關係：要說「AB 的垂直平分線」，而不只是「一條直線」。
- 說出圖形：直線、圓或拋物線。
- 說出它與已知的點或線的關係：「AB 的垂直平分線」、「以 C 為圓心、半徑是 3 的圓」。
- 用一點檢查：AB 的中點或圓心，應該符合方程或描述。
例題
例 1：P 與 A(1, 2) 和 B(5, 6) 的距離相等。求 P 的軌跡的方程，並描述它的幾何關係。
PA = PB
(x − 1)² + (y − 2)² = (x − 5)² + (y − 6)²
−2x + 1 − 4y + 4 = −10x + 25 − 12y + 36
8x + 8y − 56 = 0
x + y − 7 = 0檢查：AB 的中點 (3, 4) 滿足這條方程，而斜率 −1 與 AB 的斜率 1 垂直。軌跡是 AB 的垂直平分線。
例 2：P 與點 (0, 1) 和直線 y = −1 的距離相等。求 P 的軌跡。
√[x² + (y − 1)²] = |y + 1|
x² + y² − 2y + 1 = y² + 2y + 1
x² = 4y，即 y = x²/4：一條拋物線常見錯誤
- 軌跡是「與一條直線距離 d」時，漏了第二條直線。
- 兩條相交直線只給出一條角平分線。
- 沒有把兩邊完全平方：把 (x − 5)² 展開成 x² − 25。
- 只說軌跡是「一條直線」，沒有說明是哪一條。
DSE 怎樣考
- 甲部（2）：求軌跡的方程，描述它的幾何特徵，然後運用它（例如求它與坐標軸的交點，或某圖形的面積）。
- 乙部：圓形的軌跡，再求它與一條直線的交點。
- 卷二：從描述或草圖認出軌跡。
不敢問的問題
軌跡究竟是甚麼？
一個點按照某個規則移動時所經過的路徑。
為甚麼要兩邊平方？
距離公式有根號，平方可以去掉根號。由於距離永遠不是負數，所以不會失去任何答案。
需要說出是甚麼圖形嗎？
題目說「描述」時就需要。說出圖形，並說明它與已知的點或線的關係。