中五數學

不等式與線性規畫

Q: 為甚麼『< 0』是『兩根之間』？

開口向上的拋物線，在 x 軸下方的部分就是兩根之間凹下去的那一段。

Q: 應該把直線的哪一邊塗上陰影？

如果原點 (0, 0) 不在直線上，就用它來檢驗。原點滿足不等式，原點的那一邊就是所求的區域。

Q: 為甚麼只需檢驗頂點？

利潤線是直線，在區域上平移時，最佳的位置一定在某個角上。

二次不等式和複合不等式，以及線性規畫：畫出可行解區域，求最大值或最小值。這個單元部分屬基礎課程，部分屬非基礎課程。

學習重點

8.1 含「且」或「或」的複合一次不等式；三角不等式的問題。
8.2 用圖解法解二次不等式。
非基礎 8.3 用代數方法解二次不等式。
非基礎 8.4 二元一次不等式的圖像。
非基礎 8.5 二元一次不等式組。
非基礎 8.6 線性規畫。

先要懂：一元一次不等式、一元二次方程、直線的方程

重要詞彙

中文	English
複合不等式	compound inequality
「和」／「或」	"and" / "or"
一元二次不等式	quadratic inequality
三角不等式	triangle inequality
二元一次不等式	linear inequality in two unknowns
可行解區域	feasible region (solution region)
目標函數	objective function
線性規畫	linear programming

標準步驟

複合不等式

分別解每一部分。
把兩個解畫在同一條數線上。
「且」：只取重疊的部分。「或」：取任何一部分覆蓋的範圍。

三角不等式

任意兩邊之和大於第三邊。

寫出全部三個不等式：a + b > c，a + c > b，b + c > a。
分別解出未知的邊。
合併結果：未知的邊介乎另外兩邊之差與之和之間。

二次不等式

把所有項移到同一邊，然後因式分解（或用公式求根）。
畫出通過兩個根的拋物線草圖（a > 0 時開口向上）。
「< 0」表示在 x 軸下方：兩根之間。
「> 0」表示在 x 軸上方：兩根之外。

y = (x + 2)(x − 3)
  \         /
---•-------•---      x² − x − 6 < 0   →   −2 < x < 3        （下方）
   −2  \_/  3        x² − x − 6 > 0   →   x < −2 或 x > 3   （上方）

線性規畫（非基礎）

設定未知數：「設 x 為……的數目」。
把約束條件寫成不等式，包括 x ≥ 0、y ≥ 0，有需要時加上「整數」。
畫出每條邊界線，找出可行解區域，即所有約束條件都成立的區域。按題目的陰影規定繪畫。
求出區域的頂點（解每對邊界線的聯立方程）。
在每個頂點計算目標函數的值。最大值或最小值出現在頂點。
如果答案必須是整數而頂點不是整數點，就檢驗區域內附近的整數點。

為甚麼是頂點：目標函數是一條在區域上平移的直線，它最後離開區域時，接觸的是區域的一角。

例題

例 1：複合不等式：解 2x − 1 < 5 且 3 − x ≤ 4。

2x − 1 < 5   →  x < 3
3 − x ≤ 4    →  x ≥ −1
「且」：−1 ≤ x < 3

例 2：二次不等式（非基礎）：解 x² − x − 6 < 0。

(x + 2)(x − 3) < 0，所以 −2 < x < 3。

例 3：線性規畫（非基礎）：在 x + y ≤ 12、x + 2y ≤ 16、x ≥ 0、y ≥ 0 的條件下，求 P = 30x + 40y 的最大值。

頂點：(0, 0)、(12, 0)、(8, 4)、(0, 8)
      [(8, 4) 由 x + y = 12 和 x + 2y = 16 求得]
P：     0，    360，    400，    320
當 x = 8、y = 4 時，P 的最大值是 400

例 4：線性規畫（非基礎）應用題：一間工場製造椅子和桌子。每張椅子需要切割 1 小時、打磨 2 小時；每張桌子需要切割 3 小時、打磨 2 小時。每天最多有 15 小時切割和 14 小時打磨。每張椅子的利潤是 $50，每張桌子是 $90。各製造多少件，利潤最大？

設 x 為椅子的數目，y 為桌子的數目。
約束條件：x + 3y ≤ 15                    切割
          2x + 2y ≤ 14，即 x + y ≤ 7     打磨
          x ≥ 0，y ≥ 0，x 和 y 是整數
目標函數：P = 50x + 90y
頂點：(0, 0)、(7, 0)、(3, 4)、(0, 5)
      [(3, 4) 由 x + 3y = 15 和 x + y = 7 求得]
P：     0，    350，   510，   450
最大利潤 $510：3 張椅子和 4 張桌子

例 5：三角不等式：一個三角形的兩條邊是 4 cm 和 9 cm。求第三邊 x 的範圍。

4 + 9 > x   →  x < 13
4 + x > 9   →  x > 5
9 + x > 4   →  永遠成立
5 < x < 13

常見錯誤

題目說「或」卻用了「且」（或相反）。
拋物線開口向下時，二次不等式仍答「x < 3 且 x > −2」（一定要畫草圖）。
把二次不等式兩邊除以 x（x 可能是負數）。
檢驗了不是頂點的點，或漏了坐標軸上的頂點。
生活中的線性規畫問題忘記整數條件。

DSE 怎樣考

甲部（1）：含「且」或「或」的複合不等式，然後問有多少個整數滿足它。
卷二：二次不等式；哪個區域表示一組不等式；非基礎：在已知區域上求目標函數的最大值。
乙部：間中有完整的線性規畫應用題。

不敢問的問題

為甚麼『< 0』是『兩根之間』？