續函數圖像
學習用圖像解方程和不等式，以及圖像在平移、反射和放大下怎樣移動。指數和對數函數的圖像，以及圖像的變換，屬非基礎課程。
學習重點
- 9.1 描繪和比較圖像：常數函數、一次函數、二次函數、三角函數，以及非基礎的指數函數和對數函數。比較定義域、最大值和最小值、對稱性、周期性。
- 9.2 從 y = f(x) 的圖像解 f(x) = k。
- 9.3 從圖像解 f(x) > k、f(x) < k、f(x) ≥ k、f(x) ≤ k。
- 非基礎 9.4 變換：f(x) + k、f(x + k)、kf(x)、f(kx)，以表、符號和圖像表示。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 平移 | translation |
| 反射 | reflection |
| 放大／縮小（伸展） | enlargement / reduction (stretch) |
| 沿 x 軸／y 軸 | along the x-axis / y-axis |
| 函數圖像的變換 | transformation of graphs |
| 週期性 | periodicity |
標準步驟
從圖像解 f(x) = k 或 f(x) > k
- 畫出水平線 y = k。
- f(x) = k：讀出曲線與這條直線交點的 x 值。
- f(x) > k：讀出曲線在這條直線上方的 x 值範圍。
- 要解 f(x) = g(x)，讀出兩個圖像交點的 x 值。
變換（非基礎）：「括號外改變 y，括號內改變 x，而且括號內的效果相反」
| 新的圖像 | 變化 | 點 (a, b) 變成 |
|---|---|---|
| y = f(x) + k | 向上移 k 單位 | (a, b + k) |
| y = f(x + k) | 向左移 k 單位 | (a − k, b) |
| y = kf(x) | 沿 y 軸方向放大 k 倍 | (a, kb) |
| y = f(kx) | 沿 x 軸方向縮小 k 倍（x ÷ k） | (a/k, b) |
| y = −f(x) | 對 x 軸反射 | (a, −b) |
| y = f(−x) | 對 y 軸反射 | (−a, b) |
用一個點檢查：拋物線的頂點最方便。
例題
例 1：用圖像解 x² − 2x − 3 = x + 1。
拋物線 y = x² − 2x − 3 與直線 y = x + 1 相交於 x² − 3x − 4 = 0 的解，即 x = −1 和 x = 4。從圖像讀出的值應該相同。
例 2：非基礎：把 y = x² + 1 的圖像向左平移 3 單位。求新圖像的方程和頂點。
「向左 3」就是 f(x + 3)：y = (x + 3)² + 1
頂點 (0, 1) → (−3, 1)例 3：非基礎：y = f(x) 的圖像通過 (2, 5)。這一點在 y = f(x − 2) + 3 的圖像上變成哪一點？
向右 2、向上 3：(4, 8)。
常見錯誤
- 把 f(x + 3) 向右移（應向左移）。
- 混淆 2f(x)（變高）和 f(2x)（變窄）。
- 解 f(x) > k 時，讀出曲線在直線下方的部分。
- 讀圖太粗略；應利用方格，並按題目要求的準確度作答。
DSE 怎樣考
- 卷二甲部：從已知的圖像讀出 f(x) = k 或 f(x) ≥ k 的解。
- 卷二乙部：認出變換後的圖像，或從兩條方程判斷是哪一種變換。
- 乙部長題目：先配方，再描述一個平移。
不敢問的問題
為甚麼 f(x + 3) 是向左移，而不是向右移？
新的圖像提早 3 單位到達每個高度。在 x = −3 時，它已經得出 f(0)，所以所有東西都向左移了 3 單位。
可以直接用計算機解，而不用圖像嗎？
用代數方法檢查沒有問題，但題目寫明「利用圖像」時，要求的是從圖像讀出的值，分數也是給讀圖的。