續方程
學習用圖解法和代數方法解一條一次方程和一條二次方程的聯立方程，以及可化為二次方程的分式方程、指數方程、對數方程和三角方程。整個單元屬非基礎課程。
學習重點
- 5.1 用圖解法解一條一次方程和一條二次方程（y = ax² + bx + c）的聯立方程。
- 5.2 用代數方法解這類聯立方程。
- 5.3 解可化為二次方程的方程：分式方程、指數方程、對數方程和三角方程（0° 至 360°）。
- 5.4 涉及這些方程的應用題。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 聯立方程（一條一次，一條二次） | simultaneous equations (one linear, one quadratic) |
| 分式方程 | fractional equation |
| 指數方程／對數方程 | exponential / logarithmic equation |
| 三角方程 | trigonometric equation |
| 代換（設 u = ……） | substitution (let u = …) |
| 捨去 | reject |
標準步驟
一條一次方程和一條二次方程
- 把一次方程的主項變換為 y（或 x）。
- 代入二次方程。
- 解這條二次方程。
- 把每個 x 值代回一次方程求 y，並配對寫出答案。
「隱藏的二次方程」：設 u = ……
- 找出重複出現的部分：x⁴ − 5x² + 4 中的 x²；4ˣ − 5·2ˣ + 4 中的 2ˣ（因為 4ˣ = (2ˣ)²）；2 sin²θ − sin θ − 1 中的 sin θ。
- 設 u = 這個部分，把方程改寫成 u 的二次方程。
- 解出 u。
- 還原：解「該部分 = 每個 u 值」。
- 捨棄不可能的值：2ˣ > 0，−1 ≤ sin θ ≤ 1，對數內的式子 > 0，分母 ≠ 0。
分式方程
- 兩邊乘以各分母的 L.C.M.。
- 解所得的二次方程。
- 捨棄令任何分母等於 0 的答案。
例題
例 1：解聯立方程 y = x + 1 和 x² + y² = 25。
x² + (x + 1)² = 25
2x² + 2x − 24 = 0
x² + x − 12 = 0
(x + 4)(x − 3) = 0
x = 3，y = 4 或 x = −4，y = −3例 2：解 4ˣ − 5(2ˣ) + 4 = 0。
設 u = 2ˣ：u² − 5u + 4 = 0
(u − 1)(u − 4) = 0
2ˣ = 1 → x = 0； 2ˣ = 4 → x = 2例 3：解 log x + log(x − 3) = 1。
log[x(x − 3)] = 1
x² − 3x = 10
(x − 5)(x + 2) = 0
x = 5 （捨棄 x = −2：負數的對數沒有定義）例 4：解 1/x + 1/(x + 2) = 3/4。
兩邊乘以 4x(x + 2)：4(x + 2) + 4x = 3x(x + 2)
3x² − 2x − 8 = 0
(3x + 4)(x − 2) = 0
x = 2 或 x = −4/3例 5：在 0° ≤ θ ≤ 360° 內解 2 sin²θ − sin θ − 1 = 0。
(2 sin θ + 1)(sin θ − 1) = 0
sin θ = 1 → θ = 90°
sin θ = −1/2 → θ = 210° 或 330°常見錯誤
- 把 x 代回二次方程，得出多餘而錯誤的 y 值。
- 忘記由 u 還原為 x。
- 保留了不可能的值，例如 2ˣ = −1 或 sin θ = 2。
- 沒有把對數方程的答案代回原方程檢查。
- 只把部分項乘以 L.C.M.。
DSE 怎樣考
- 乙部：可化為二次方程的對數或指數方程，經常是 (a) 部建立關係後的 (b) 部。
- 乙部：直線與拋物線或圓相交。
- 卷二：以指數或三角形式出現的隱藏二次方程。
不敢問的問題
怎樣看出隱藏的二次方程？
找某個式子和它的平方：x 和 x²、2ˣ 和 4ˣ、sin θ 和 sin²θ。
為甚麼要捨棄答案？是不是我解錯了？
你沒有解錯。但改變方程（兩邊相乘、去掉對數）可能加入不符合原方程的答案，檢查就是要把它們剔除。
為甚麼要代入一次方程，而不是二次方程？
一次方程中每個 x 只對應一個 y；二次方程可能給出兩個，其中一個是錯的。