四邊形與三角形的心
平行四邊形和其他四邊形的性質、中點定理和截線定理，以及三角形的四個心。DSE 的坐標幾何題會再用到三角形的心。
學習重點
- 23.1 平行四邊形：對邊相等、對角相等、對角線互相平分。
- 23.2 長方形、菱形和正方形的性質（對角線相等、互相垂直、平分頂角）。
- 非基礎 23.3 平行四邊形的條件：
- 非基礎 23.4 運用以上性質和條件的簡單幾何證明。
- 非基礎 23.5 中點定理和截線定理。
- 邏輯：「正方形的四條邊相等，但四條邊相等的圖形不一定是正方形」。
- 24.1 角平分線上的點與角的兩邊距離相等；垂直平分線上的點與線段兩端距離相等（以及它們的逆定理）。
- 非基礎 24.2 內心（與三條邊距離相等）和外心（與三個頂點距離相等）。
- 非基礎 24.3 形心（中線的交點）和垂心（高的交點）。
先要懂：幾何與數據基礎（中一至中二）、相似三角形
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 平行四邊形，長方形，菱形，正方形，梯形 | parallelogram, rectangle, rhombus, square, trapezium |
| 對角線 | diagonal |
| 平分 | bisect |
| 中點定理，截線定理 | mid-point theorem, intercept theorem |
| 角平分線，垂直平分線 | angle bisector, perpendicular bisector |
| 中線，高 | median, altitude |
| 內心，外心，形心，垂心 | incentre, circumcentre, centroid, orthocentre |
標準步驟
求平行四邊形的角
- 對角相等。
- 鄰角之和是 180°（同旁內角，AB // DC）。
- 每求出一個角，就在括號內寫出理據。
中點定理（非基礎）
如果 M 和 N 分別是 AB 和 AC 的中點，那麼 MN // BC，而且 MN = ½BC。
- 檢查兩點是否同一個三角形兩條邊的中點。
- 連接兩點的線段平行於第三邊：MN // BC。
- 它的長度是第三邊的一半：MN = ½BC。寫出理據（中點定理）。
分辨三角形的四個心（非基礎）
| 心 | 哪些線相交 | 特別性質 | 記憶方法 |
|---|---|---|---|
| 外心 | 三條邊的垂直平分線 | 與三個頂點距離相等；是通過三個頂點的圓（外接圓）的圓心 | 「外接圓」的圓心 |
| 內心 | 三條角平分線 | 與三條邊距離相等；是三角形內的圓（內切圓）的圓心 | 「內切圓」的圓心 |
| 形心 | 三條中線（頂點至對邊中點） | 平衡點；把每條中線分成 2 : 1 | 「形狀的中心」 |
| 垂心 | 三條高（頂點至對邊的垂線） | 「垂直」 |
直角三角形：外心是斜邊的中點，垂心是直角的頂點。
- 看看是哪些線相交：垂直平分線、角平分線、中線還是高。
- 按上表說出是哪個心。
- 運用它的性質：與頂點距離相等（外心）、與邊距離相等（內心），或把中線分成 2 : 1（形心）。
例題
例 1：求平行四邊形的角：ABCD 是平行四邊形，∠A = (3x + 10)°，∠C = (5x − 30)°。求 x 和 ∠B。
∠A = ∠C （平行四邊形對角）
3x + 10 = 5x − 30
40 = 2x
x = 20
∠A = 70°
∠B = 180° − 70° = 110° （同旁內角，AD // BC）例 2：中點定理（非基礎）：在 △ABC 中，M 和 N 分別是 AB 和 AC 的中點，BC = 14 cm。求 MN。
MN = ½ × 14 = 7 cm，而且 MN // BC（中點定理）。
例 3：分辨三角形的心（非基礎）：G 是 △ABC 三條中線的交點，中線 AD 長 12 cm。G 是哪個心？求 AG。另外，一個直角三角形的三邊是 6 cm、8 cm 和 10 cm，求它的外心與每個頂點的距離。
中線相交於形心，形心把每條中線分成 2 : 1
AG = 12 × 2/3 = 8 cm，GD = 4 cm
直角三角形：外心 = 斜邊的中點
與每個頂點的距離 = 10 ÷ 2 = 5 cm常見錯誤
- 把所有四條邊相等的四邊形都當作正方形。
- 混淆內心（與邊有關）和外心（與頂點有關）。
- 以為中線與對邊垂直（垂直的是高）。
- 證明需要「條件」時卻寫「性質」作理據（要證明一個圖形是平行四邊形，必須用條件）。
DSE 怎樣考
- 甲部（1）／甲部（2）證明題：證明一個四邊形是平行四邊形，或在全等證明中運用它的性質。
- 乙部：用坐標求外心或垂心，或證明四點共圓。
- 卷二：判斷哪一句關於三角形的心的陳述正確。
不敢問的問題
性質和條件有甚麼分別？
性質：如果它是平行四邊形，那麼這件事成立。條件：如果這件事成立，那麼它是平行四邊形。內容相同，方向相反。
外心可以在三角形外面嗎？
可以，鈍角三角形的外心就在三角形外面。
四個心太難記。
只要記住哪些線相交：垂直平分線 → 外心，角平分線 → 內心，中線 → 形心，高 → 垂心。