概率
基本概率：必然事件、不可能事件和隨機事件，樣本空間，以及用表和樹形圖列出結果；期望值屬非基礎延伸內容。這是中五續概率的基礎。
學習重點
- 31.1 必然事件、不可能事件和隨機事件。
- 31.2 概率；樣本空間。可以用溫氏圖。不需要學幾何概率。
- 31.3 用表或樹形圖列出樣本空間來求概率。
- 31.4 涉及概率的問題。
- 非基礎 31.5–31.6 期望值，以及運用期望值的問題。
先要懂：數與代數基礎（中一至中二）
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 事件 | event |
| 必然事件／不可能事件 | certain / impossible event |
| 隨機 | random |
| 概率 | probability |
| 樣本空間，結果 | sample space, outcome |
| 機會均等 | equally likely |
| 樹形圖 | tree diagram |
| 放回／不放回 | with / without replacement |
| 期望值 | expected value |
標準步驟
基本概率
P(E) = 有利結果的數目 ÷ 同等可能的結果的總數。
- 0 ≤ P(E) ≤ 1。
- P(E 不發生) = 1 − P(E)。
兩步實驗
- 兩個步驟的結果相同時（例如擲兩顆骰子），用表：填好 6 × 6 的表，然後點算。
- 其他情況用樹形圖：
- 每一步畫一組分支，在每條分支上寫上概率。
- 沿著同一條路徑把概率相乘。
- 把屬於該事件的各條路徑相加。
- 不放回：第二步時，總數減 1，被取走的那一類的數目也減 1。
期望值（非基礎）
E = Σ(數值 × 概率)。遊戲的淨收益 = 預期贏得的款額 − 參加遊戲的費用。
例題
例 1：擲兩顆均勻的骰子。求 P(點數之和 = 8)。
有利結果：(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，即 36 個結果中有 5 個。P = 5/36。
例 2：袋中有 3 個紅球和 2 個藍球。不放回地抽出兩個球，求 P(兩球顏色相同)。
P(紅紅) = 3/5 × 2/4 = 6/20
P(藍藍) = 2/5 × 1/4 = 2/20
P(顏色相同) = 6/20 + 2/20 = 8/20 = 2/5例 3：非基礎：玩一次遊戲要付 $10。贏得 $50 的概率是 1/8，贏得 $20 的概率是 1/4，其餘情況甚麼都贏不到。求每次遊戲的預期淨收益。
預期贏得的款額 = 50 × 1/8 + 20 × 1/4 = 6.25 + 5 = $11.25
預期淨收益 = 11.25 − 10 = 每次 $1.25常見錯誤
- 把不是同等可能的結果當作同等可能（「點數之和是 2 和是 7 的機會相同」）。
- 不放回時，第二次抽取沒有把總數減 1。
- 沿著分支把概率相加，而不是相乘。
- 忘記相反的次序：「一紅一藍」是「紅藍」或「藍紅」。
- 計算期望值時沒有減去參加遊戲的費用。
DSE 怎樣考
- 卷二甲部：骰子、紙牌、袋中的球、結果表。
- 卷一：在統計題中出現概率（「從表中隨機選出一名學生……」）。
- 中五續概率會在此基礎上加入組合和條件概率。
不敢問的問題
為甚麼沿著分支要相乘？
如果 5 次中有 3 次第一個是紅球，而在這些情況中，4 次有 2 次第二個也是紅球，那就是 3/5 的 2/4，而「的」就是相乘。
期望值是 $11.25，但一次遊戲不可能贏 $11.25。
對。它是玩很多很多次後，每次的平均值。
『隨機』和『同等可能』一樣嗎？
不一定。從一個公平的袋中隨機抽出，每個結果同等可能；但隨機選一天的天氣，各種天氣就不是同等可能。