離差的度量

學習重點

• 17.1 離差的意思。
• 17.2 分佈域和四分位數間距。
• 17.3 框線圖；用框線圖比較分佈。
• 17.4 分組和不分組數據的標準差；方差 = (標準差)²。總體公式 σ = √[Σ(x − μ)² / N]。
• 17.5 用合適的度量比較離差。
• 非基礎 17.6 標準分；生活問題中的正態分佈（題目會給出百分率，不用查表）。
• 非基礎 17.7 每個數據都加上一個常數，或都乘以一個常數，對離差的影響。

先要懂：集中趨勢的度量、幾何與數據基礎（中一至中二）

重要詞彙

標準步驟

分佈域和四分位數間距

1. 分佈域 = 最大值 − 最小值。
2. 把數據排序，找出中位數 Q₂。
3. 下四分位數 Q₁ = 下半部分的中位數；上四分位數 Q₃ = 上半部分的中位數。（這是香港課本常用的方法，請對照學生自己的課本。）
4. 四分位數間距 = Q₃ − Q₁。
5. 從累積頻數曲線讀數時，Q₁ 在總頻數的 ¼ 處，Q₃ 在 ¾ 處。

框線圖

五個數：最小值、Q₁、中位數、Q₃、最大值。方框由 Q₁ 至 Q₃，兩條「鬚」伸延至最小值和最大值。

標準差（用計算機）

1. 把計算機設定在統計（SD）模式。
2. 輸入數據（頻數分佈表要連同頻數輸入；分組數據用組中點）。
3. 讀出 σx（總體標準差），而不是 sx。DSE 用 σ。
4. 寫下數值；方差 = σ²。

標準分（非基礎）

z = (x − 平均數) ÷ 標準差。z 越高，表示相對表現越好。

1. 求該組數據的平均數和標準差。
2. 計算 z = (x − 平均數) ÷ 標準差。
3. 比較標準分，而不是原始分數：z 較高的，相對於該組的表現較好。

正態分佈（非基礎）

約 68% 的數據在平均數的 1 個標準差以內，95% 在 2 個標準差以內，99.7% 在 3 個標準差以內。題目會給出需要用到的百分率。

運算對結果的影響（非基礎）

想核對答案？標準差計算機會顯示每一步。

例題

分佈域 = 13 − 4 = 9
平均數 = 40 ÷ 5 = 8
σ = √[(16 + 1 + 1 + 1 + 25)/5] = √8.8 ≈ 2.97
方差 = 8.8

下半部分 2, 3, 5, 6   → Q₁ = 4
上半部分 8, 9, 11, 12 → Q₃ = 10
四分位數間距 = 10 − 4 = 6        （中位數 Q₂ = 7）

常見錯誤

• 在計算機上讀了 sx 而不是 σx。
• 求四分位數前忘記把數據排序。
• 以為加上一個常數會改變標準差。
• 有極端值時用分佈域比較兩班（應該用四分位數間距）。
• 比較不同測驗的原始分數，而不是標準分。

DSE 怎樣考

• 甲部（1）：由頻數分佈表求標準差，有時其中一個頻數是未知數。
• 甲部（2）：幹葉圖 → 分佈域、四分位數間距 → 框線圖 →「哪一班的離散程度較大？試解釋。」
• 卷二：加入或刪去數據對平均數、分佈域、標準差的影響；非基礎的標準分和正態分佈。

不敢問的問題

中六數學其他課題