中三數學

集中趨勢的度量

Q: 如果每個數值都只出現一次，是不是沒有眾數？

是的，這是可以的。這組數據沒有眾數。

學習求平均數、中位數和眾數，並懂得選用合適的一個，包括從頻數分佈表和分組數據求出，以及加權平均數。統計在 DSE 卷一佔相當多分數。

學習重點

30.1 平均數、中位數和眾數（眾數組）的特點和局限。一個極端值會令平均數大幅改變，但中位數不會。
30.2 不分組數據的平均數、中位數和眾數。
30.3 分組數據的平均數、中位數和眾數組（這些都是估計值）。
30.4 日常生活中的應用和誤用。
非基礎 30.5 每個數據都加上一個常數，或都乘以一個常數，對結果的影響。
30.6–30.7 加權平均數（成績表分數、大學入學分數）。

重要詞彙

中文	English
平均數	mean (average)
中位數	median
眾數，眾數組	mode, modal class
加權平均數，權	weighted mean, weight
不分組數據／分組數據	ungrouped / grouped data
組中點	class mark
極端值	extreme value

標準步驟

不分組數據

平均數 = 總和 ÷ 數據的數目。
中位數：
1. 把數據按大小排列。
2. 共有 n 個數據時，中位數是第 (n + 1)/2 個數據。
3. 如果 n 是雙數，取中間兩個數據的平均數。
眾數 = 出現次數最多的數值（可以多於一個）。

頻數分佈表或分組數據

平均數 = Σ(x × f) ÷ Σf，其中 x 是數值（分組數據則用組中點）。
組中點 = (下組限 + 上組限) ÷ 2。
中位數：用累積頻數找出第 (Σf + 1)/2 個數據所在的組，或從累積頻數曲線讀出。

求未知的數值

總和 = 平均數 × 數據的數目。
把已知的數值加起來。
未知的數值 = 總和 − 已知數值的和。

加權平均數

加權平均數 = Σ(數值 × 權) ÷ Σ(權)。

運算對結果的影響（非基礎）

每個數據	平均數、中位數、眾數
+ c	都增加 c
× k	都乘以 k

例題

例 1：求數據 3, 5, 5, 6, 8, 9, 13 的平均數、中位數和眾數。

平均數 = 49 ÷ 7 = 7
中位數 = 第 4 個數據 = 6
眾數   = 5

例 2：5 個數的平均數是 12，其中四個是 10、11、15 和 9。求第五個數。

總和     = 12 × 5 = 60
第五個數 = 60 − (10 + 11 + 15 + 9) = 15

例 3：分組數據：根據下表估計平均分。

分數	0–9	10–19	20–29	30–39
組中點	4.5	14.5	24.5	34.5
頻數	4	7	6	3

平均數 ≈ (4.5×4 + 14.5×7 + 24.5×6 + 34.5×3) ÷ 20
       = 370 ÷ 20
       = 18.5

例 4：課業佔 40%，考試佔 60%。一名學生課業得 70 分，考試得 85 分。求加權平均分。

加權平均數 = 0.4 × 70 + 0.6 × 85 = 79。

常見錯誤

沒有先把數據排序便找中位數。
把「(n + 1)/2」本身當作中位數，而不是取這個位置上的數據。
在頻數分佈表中除以行數，而不是總頻數。
用組限代替組中點。
把分組數據的平均數當作準確值。

DSE 怎樣考

甲部（1）：給出頻數分佈表或幹葉圖，求平均數或中位數，再由已知的平均數或中位數求未知的數值。
卷二：加入或刪去一個數值後，哪一個度量會改變；非基礎的 + c 和 × k 的影響。
中六的統計題也從同類的表開始（見離差的度量）。

不敢問的問題

應該用哪一種平均？

有極端值時（例如薪金）用中位數；每個數值都重要時用平均數；問「最受歡迎」時（例如鞋碼）用眾數。

為甚麼分組數據的平均數只是估計值？

我們不知道每組內的準確數值，所以假設它們都在組的中間。

如果每個數值都只出現一次，是不是沒有眾數？