奧數是甚麼？小學奧數題目與解題方法

奧數是「數學奧林匹克」的簡稱，指超出課本範圍、著重推理和解題策略的比賽數學題。小學奧數題目常見的類型有找規律、雞兔同籠、數數、植樹問題和分數巧算；每種題型都有一個核心方法，掌握了方法，題目就不再神秘。

重點

• 奧數題目考的是推理，而不是更深的課程內容。
• 每種題型都有核心方法：列表、假設、配對、畫圖。
• 先用小的數字試，再找出規律。

奧數的由來

「奧數」來自國際數學奧林匹克（International Mathematical Olympiad，簡稱 IMO）。IMO 是給中學生參加的國際數學比賽，1959 年在羅馬尼亞首次舉行，之後每年在不同國家舉行。

IMO 的比賽分兩天進行，每天用四小時半解答三道題目。今天說的奧數，泛指這類比賽風格的題目，小學、初中都有不同程度的版本。

常見的小學奧數題型

小學奧數題目大多屬於以下幾類。認出題型，就知道從哪個方法入手。

• 找規律：數列或圖形按某個規則變化，要求找出下一項。
• 雞兔同籠：兩種東西的總數和總腳數已知，求各有多少。
• 數數與握手：有系統地數出所有可能，不重複也不遺漏。
• 高斯求和：把首尾配對，快速求一串數的和。
• 植樹問題：分清楚「間隔數」和「棵數」。
• 分數巧算：把分數拆開，讓中間的項互相抵消。

例題一：雞兔同籠

籠裏有雞和兔共 10 隻，腳共 28 隻。雞和兔各有多少隻？

假設 10 隻全是雞，腳應該有 20 隻，比實際少 8 隻。每把一隻雞換成兔，腳就多 2 隻，所以要換 8 ÷ 2 = 4 次。答案是兔 4 隻、雞 6 隻。驗算：6 × 2 + 4 × 4 = 28。

例題二：握手問題

6 位同學見面，每兩人都握手一次，一共握手多少次？

第一位同學與其餘 5 人握手；第二位同學還要與 4 人握手（已與第一位握過）；如此類推。總數是 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 次。先用 3 個人試（3 次），可以檢查方法是否正確。

例題三：高斯求和

求 1 + 2 + 3 + … + 100。

把首尾配對：1 + 100、2 + 99、3 + 98……每對的和都是 101，共有 50 對，所以總和是 101 × 50 = 5050。中學的等差數列求和公式，就是這個方法。

延伸閱讀：等差數列與等比數列

例題四：植樹問題

一條 50 米長的路，從一端開始每隔 5 米種一棵樹，兩端都要種。一共要種多少棵？

50 ÷ 5 = 10，所以有 10 個間隔。兩端都種時，棵數比間隔數多 1，答案是 11 棵。畫一條只有 10 米的短路試一試，就能看清楚為甚麼要加 1。

例題五：分數拆項

計算 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30。

每個分母都是兩個相鄰整數的積：2 = 1 × 2，6 = 2 × 3，如此類推。而 1/(n × (n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1)，所以原式 = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/5 − 1/6)。中間的項互相抵消，答案是 1 − 1/6 = 5/6。

延伸閱讀：用分數計算機驗算

例題六：找規律

數列 2、5、10、17、26……的下一項是甚麼？

相鄰兩項的差是 3、5、7、9，每次多 2，所以下一個差是 11，下一項是 26 + 11 = 37。另一個看法：每一項都是一個平方數加 1（1 + 1、4 + 1、9 + 1……），所以下一項是 36 + 1 = 37。

怎樣開始練習奧數

每次只練一種題型，先明白核心方法，再做變化題。遇到難題時，先畫圖、列表，或用較小的數字試，往往就能看出規律。

做完題目一定要驗算，例如把答案代回題目。奧數應該是課本以外的挑戰，不應該代替校內數學的基礎練習。

試一題

籠裏有雞和兔共 12 隻，腳共 34 隻。雞和兔各有多少隻？

提示：先假設全部是雞。

答案：全是雞時有 24 隻腳，少了 10 隻。每換一隻兔多 2 隻腳，所以有 10 ÷ 2 = 5 隻兔、7 隻雞。驗算：7 × 2 + 5 × 4 = 34。

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