二次函數圖像：由方程式找頂點、對稱軸和截距的步驟
二次函數 y = ax² + bx + c 的圖像是一條拋物線。對稱軸是 x = -b/(2a)，頂點在對稱軸上，把該 x 值代回方程式即得 y 值；y 截距就是 c，x 截距則解 ax² + bx + c = 0。若函數寫成頂點式 y = a(x - h)² + k，頂點直接是 (h, k)，對稱軸是 x = h。a 的正負決定開口方向，|a| 的大小影響開口闊窄。做題時先定 a、b、c，再依次找對稱軸、頂點、截距，最後用幾個輔助點檢查圖形，就能減少符號錯誤。
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- 對稱軸是 x = -b/(2a)，計算是先寫清 a、b 的正負號。
- 頂點在對稱軸上，把 x 值代回方程式即得 y 值。
- y 截距就是常數 c，x 截距要解 ax² + bx + c = 0。
- 畫圖前先標對稱軸、頂點和截距，再用平滑曲線連接。
二次函數圖像的基本形狀
二次函數的一般式寫成 y = ax² + bx + c，其中 a 不等於 0。它的圖像是一條拋物線，左右對稱。當 a 為正數，拋物線開口向上，圖像有最低點；當 a 為負數，開口向下，圖像有最高點。這個最高點或最低點就是頂點。
係數 a 的絕對值愈大，拋物線愈窄；絕對值愈小，拋物線愈闊。常數 c 則是圖像與 y 軸相交的位置，也就是 y 截距。先看清這三點，再動手計算，可以避免一開始就把方向弄反。
同學在第 2 頁的「二次函數圖像」練習裡，可以先觀察不同 a 值下拋物線的變化，建立圖形感覺，再回到代數計算。
第一步：找出對稱軸
對於 y = ax² + bx + c，對稱軸的方程式是 x = -b/(2a)。計算時先把 a 和 b 連同正負號寫清楚，再代入公式。例如 y = 2x² - 8x + 3，a = 2、b = -8，於是 -b/(2a) = 8/4 = 2，對稱軸是 x = 2。
常見錯誤是把 b 的負號漏掉，或者把 2a 寫成 a²。建議每題先在草稿紙上列出 a、b、c 三個值，再逐格代入，這樣即使題目數字較複雜，也不容易出錯。
若函數以頂點式 y = a(x - h)² + k 給出，則不需要用公式，對稱軸直接是 x = h。兩種形式要懂得互相轉換，考試時才能選最快的方法。
第二步：求頂點坐標
頂點一定在對稱軸上，所以求出對稱軸的 x 值後，把這個 x 值代回原方程式，計出的 y 值就是頂點的 y 坐標。以上面的 y = 2x² - 8x + 3 為例，代入 x = 2，得 y = 2(4) - 16 + 3 = -5，頂點是 (2, -5)。
另一條路是用配方法，把一般式改寫成頂點式。例如 y = x² + 6x + 5 可寫成 y = (x + 3)² - 4，於是頂點是 (-3, -4)，對稱軸是 x = -3。配方法的好處是同時看到開口方向和頂點，但步驟較多，適合熟練後使用。
頂點的意義在於它是圖像的最高點或最低點，也就是函數的最大值或最小值。題目問「何時達到最大」或「最小值是多少」時，答案就是頂點的坐標。
- 數與代數二次函數圖像y = a(x − h)2 + k頂點 (h, k)；a > 0 開口向上，a < 0 開口向下
- 數與代數配方法x2 + bx = (x + b2)2 − b24例：x2 + 6x = (x + 3)2 − 9
- 數與代數二次公式x = −b ± √b2 − 4ac2a解 ax2 + bx + c = 0
- 數與代數判別式Δ = b2 − 4acΔ > 0 兩個不相等實根；Δ = 0 兩個相等實根；Δ < 0 沒有實根
第三步：找 y 截距和 x 截距
y 截距的求法最簡單：令 x = 0，代入方程式即得 y = c。所以一般式 y = ax² + bx + c 的 y 截距就是 c，圖像與 y 軸交於 (0, c)。
x 截距則要解方程 ax² + bx + c = 0。可以用因式分解、配方法或求根公式。例如 y = x² - 5x + 6，分解為 (x - 2)(x - 3) = 0，得 x = 2 或 x = 3，圖像與 x 軸交於 (2, 0) 和 (3, 0)。若判別式 b² - 4ac 小於 0，圖像便不與 x 軸相交，這時只需說明沒有 x 截距。
有些題目只要求其中一種截距，作答前要看清問題，不要把所有計算都寫上去，浪費時間。
第四步：用輔助點畫出圖像
找到對稱軸、頂點和截距後，可以再取一兩個輔助點，令圖形更準確。由於拋物線左右對稱，若點 (p, q) 在圖像上，則 (2h - p, q) 也在圖像上，其中 h 是對稱軸的 x 值。利用這一點，可以省去重複計算。
畫圖時先畫對稱軸（虛線），標出頂點和截距，再按 a 的正負決定開口方向，最後用平滑曲線連接各點。不要用直尺把點連成折線，拋物線是曲線。
完成後可以用一個簡單檢查：把圖上某一點的 x 值代回方程式，看 y 值是否與圖中位置相符。這個習慣能及早發現符號錯誤。
常見錯誤與溫習建議
最常見的錯誤有三類：一是對稱軸公式的負號處理出錯；二是把頂點的 x 值和 y 值對調；三是解 x 截距時忘記二次方程可能有兩個根、一個重根或沒有實根。每做完一題，花半分鐘覆核這三點，比重新做一次更有效。
溫習時可以把同一條拋物線用一般式、頂點式和因式分解式三種形式寫出來，體會三種形式各自方便的地方：一般式方便看 y 截距，頂點式方便看頂點，因式分解式方便看 x 截距。這種對照練習比重複做同類題目更能建立理解。
如果學校進度較快，可以按自己的步伐在小一至中六的免費學習模式中重溫基礎，再回到中四、中五的二次函數課題。數學概念是層層相扣的，基礎穩固，後面的圖像變換和應用題自然較易掌握。
常見問題
對稱軸公式中的 a 和 b 是甚麼？
在一般式 y = ax² + bx + c 中，a 是二次項係數，b 是一次項係數，計算對稱軸時要連同正負號一起代入 x = -b/(2a)。建議先在草稿列出 a、b、c 三個值再計算。
頂點式和一般式有甚麼分別？
頂點式 y = a(x - h)² + k 可以直接讀出頂點 (h, k) 和對稱軸 x = h；一般式 y = ax² + bx + c 則方便看出 y 截距 c，並可用公式找對稱軸。兩種形式可以透過配方法互相轉換。
為甚麼有些二次函數圖像不與 x 軸相交？
解 ax² + bx + c = 0 時，若判別式 b² - 4ac 小於 0，方程沒有實根，圖像便不與 x 軸相交。這時拋物線整個在 x 軸上方或下方，取決於 a 的正負和頂點的位置。