相似三角形的三個理由與證明寫法

兩個三角形的所有對應角相等，而且所有對應邊成比例，它們就是相似三角形。證明時只需要符合三個判別條件之一：兩對對應角相等（AAA，或 AA）、三對對應邊成比例，或兩對對應邊成比例且夾角相等。按對應次序寫出兩個三角形，每一行寫一個事實和理由，最後在括號內寫上判別條件。

重點

• AAA（或 AA）：兩對對應角相等。
• 三邊成比例（3 sides prop.）：三對對應邊的比相同。
• 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc. ∠）：兩對對應邊的比相同，而且兩邊所夾的角相等。
• RHS、SSS、SAS 和 SSA 都不是相似三角形的理由。

相似三角形的三個判別條件

教育局初中數學課程對相似三角形的定義是：兩個三角形的所有對應角相等，而且所有對應邊成比例。證明時不必逐一檢查這六項。課程列出三個判別條件，符合其中任何一個，就足以證明兩個三角形相似。

課程不要求學生證明這些條件為何成立，但要求學生運用它們：先證明兩個三角形相似，再求未知的邊和角。

課程把第一個條件寫作 AAA（或 AA）。兩對角相等已經足夠，因為三角形內角和固定了第三對角。不少老師在證明題中仍要求寫 AAA，所以請跟隨老師和課本的寫法。

三個判別條件

延伸閱讀：相似三角形：方法與例題

證明的寫法

閱卷員主要看兩點：每一步都有理由，而結論寫出了判別條件。字母的次序同樣重要，因為下一部分通常要求一條邊的長度，而次序決定哪兩條邊互相對應。

1. 在圖上標出相等的角。如果兩個三角形重疊，把它們分開畫出，並轉到同一方向。
2. 按對應次序寫出兩個三角形。如果 ∠A 對應 ∠P，∠B 對應 ∠Q，就寫 △ABC ~ △PQR，不可寫成 △ABC ~ △QPR。
3. 每行寫一個事實，後面加上理由，例如 (common ∠)、(vert. opp. ∠s) 或 (corr. ∠s, AB // CD)。
4. 最後寫結論和判別條件：∴ △ABC ~ △PQR (AAA)。

例題一：兩對角相等

在 △ABC 中，P 在 AB 上，Q 在 AC 上，而 PQ // BC。AP = 3 cm，PB = 2 cm，PQ = 4.5 cm。證明 △APQ ~ △ABC，並求 BC。

然後按對應次序列式。AB = 3 + 2 = 5 cm，而 PQ/BC = AP/AB，所以 4.5/BC = 3/5，BC = 7.5 cm。注意 AP 對應的是整條邊 AB，不是其中一段 PB。

證明

例題二：三邊成比例

在 △ABC 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，CA = 10 cm。在 △DEF 中，DE = 9 cm，EF = 12 cm，FD = 15 cm。證明兩個三角形相似。

最短邊對最短邊，中間對中間，最長對最長。邊的配對決定頂點的對應：A 對應 D，B 對應 E，C 對應 F。

證明

例題三：兩邊成比例且夾角相等

直線 AE 和 BD 相交於 C。CA = 4 cm，CE = 10 cm，CB = 6 cm，CD = 15 cm，AB = 5 cm。證明 △CAB ~ △CED，並求 ED。

相等的角必須夾在所用的兩對邊之間。∠ACB 夾在 CA 和 CB 之間，∠ECD 夾在 CE 和 CD 之間，所以條件成立。然後 AB/ED = CA/CE，所以 5/ED = 2/5，ED = 12.5 cm。

證明

常見錯誤

這些錯誤出在寫法，而不是概念，所以很容易改正。完成證明後，按以下各點檢查一次。

• 字母次序不對應，例如寫成 △APQ ~ △ACB，結果比例配錯了邊。
• 把小三角形的邊與大三角形一條邊的其中一段（PB）配對，而不是與整條邊（AB）配對。
• 寫了全等三角形的理由（SSS、SAS、ASA、AAS 或 RHS）。相似三角形要求邊成比例，而不是相等。
• 相等的角不是夾在兩對邊之間，卻寫了 ratio of 2 sides, inc. ∠。
• 列出相等的角，但沒有逐一寫理由。

試一題

在 △ABC 中，D 在 AB 上，E 在 AC 上，而 ∠ADE = ∠ACB。AD = 4 cm，AE = 3 cm，AC = 8 cm。證明 △ADE ~ △ACB，並求 AB。

提示：∠A 是兩個三角形的公共角。D 對應 C，所以 E 對應 B。

答案：∠DAE = ∠CAB (common ∠)，∠ADE = ∠ACB (given)，所以 △ADE ~ △ACB (AAA)。然後 AD/AC = AE/AB，即 4/8 = 3/AB，所以 AB = 6 cm。

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常見問題

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