標準差公式：計算步驟與例題
standard deviation 公式、用手計算標準差的五個步驟、數據列表和頻數表的例題，以及總體 σ 與樣本 s 的分別。
標準差（standard deviation）量度數據偏離平均數的程度。standard deviation 公式是 σ = √(Σ(x − x̄)² / n)：每個數據減去平均數，平方，求這些平方的平均，再開方。平方的平均就是方差（variance）。
重點
- 方差是離均差平方的平均數，標準差是方差的平方根。
- DSE 必修部分使用除以 n 的 σ。
- 除以 n − 1 的樣本標準差 s 屬於單元一。
- 每個數據加上同一個常數，σ 不變；每個數據乘以 k，σ 乘以 |k|。
標準差公式
設 n 個數據 x₁, x₂, …, xₙ 的平均數為 x̄，總體標準差是 σ = √(Σ(x − x̄)² / n)。方差是 σ²，即同一式子不開方。
σ 是希臘字母 sigma。標準差的單位與數據相同，所以比方差更容易解讀。variance 的中文是方差。
延伸閱讀：標準差計算機
計算標準差的五個步驟
任何一組數據都可以按以下步驟計算。
- 求平均數 x̄：把所有數據相加，再除以 n。
- 每個數據減去平均數，得出離均差 x − x̄。
- 把每個離均差平方。
- 把平方相加，再除以 n，得出方差。
- 開平方根，得出標準差 σ。
例題一：一組數據
求 4、7、8、9、12 的標準差。平均數是 40 ÷ 5 = 8。
平方之和是 34，所以方差是 34 ÷ 5 = 6.8，σ = √6.8 ≈ 2.61。
也可以用簡便公式 σ² = Σx²/n − x̄² 驗算。這裏 Σx² = 354，所以 σ² = 70.8 − 64 = 6.8，答案相同。
離均差及其平方
| x | x − x̄ | (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | −4 | 16 |
| 7 | −1 | 1 |
| 8 | 0 | 0 |
| 9 | 1 | 1 |
| 12 | 4 | 16 |
| 總和 | 0 | 34 |
例題二：頻數表
數據重複出現時，把每個離均差的平方乘以頻數 f：σ = √(Σf(x − x̄)² / Σf)。
某班記錄每位學生讀了多少本書：1 本（2 人）、2 本（5 人）、3 本（3 人）。Σf = 10，平均數是 21 ÷ 10 = 2.1。
加權平方之和是 4.9，所以方差是 4.9 ÷ 10 = 0.49，σ = 0.7。
頻數表
| x | f | x − x̄ | f(x − x̄)² |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | −1.1 | 2.42 |
| 2 | 5 | −0.1 | 0.05 |
| 3 | 3 | 0.9 | 2.43 |
| 總和 | 10 | 4.9 |
延伸閱讀：離差的量度：方法與例題
總體 σ 還是樣本 s？
樣本標準差 s 除以 n − 1，而不是 n。考評局的符號表在必修部分使用總體方差 σ²，樣本方差 s² 只用於單元一，所以 DSE 必修部分的題目要除以 n。
以上一組數據為例，s = √(34 ÷ 4) = √8.5 ≈ 2.92，比 σ 大。科學計算機通常兩者都有：σx（或 σn）除以 n，sx（或 σn−1）除以 n − 1。
數據改變時標準差的變化
每個數據加上同一個數，平均數會移動，但數據的分散程度不變，所以 σ 不變。每個數據乘以 k，σ 乘以 |k|，方差乘以 k²。
因此，如果測驗每人都加 5 分，σ 不變；如果每人的分數都加倍，σ 也加倍。
延伸閱讀：DSE 數學公式大全
試一題
求 2、4、4、5、10 的標準差。
提示：平均數是 5。
答案：離均差：−3、−1、−1、0、5。平方：9、1、1、0、25，總和 36。方差 = 36 ÷ 5 = 7.2，所以 σ = √7.2 ≈ 2.68。
常見問題
標準差可以是負數嗎？
不可以。標準差是平方根，所以是零或正數。只有所有數據都相同時，標準差才是零。
方差和標準差有甚麼分別？
方差是離均差平方的平均數；標準差是方差的平方根，單位與數據相同。
為甚麼要把離均差平方？
離均差的總和永遠是零，因為高於和低於平均數的部分互相抵消。平方後每個離均差都變成正數。
DSE 數學應該用計算機的哪個鍵？
必修部分用除以 n 的鍵，通常標示為 σx。除以 n − 1 的鍵用於單元一的樣本題目。