解不等式：不等號何時要反轉？一元一次、複合「和」「或」與二次不等式，附例題
解不等式的規則和解方程差不多，只多一條：兩邊同時乘以或除以負數時，不等號方向要反轉；加減任何數、乘除正數則不變。初中學一元一次不等式，高中必修部分再學用邏輯連詞「和」或「或」連接的複合不等式、二次不等式和線性規畫。「和」取兩個解的重疊部分，「或」取兩者合起來的範圍。二次不等式先移項、找出兩個根，再看拋物線在 x 軸上方還是下方：「> 0」取兩根之外，「< 0」取兩根之間（二次項係數為正時）。以代數方法解二次不等式和線性規畫屬非基礎課題，在文憑試中只會在乙部出現。每題做完後在數線上代一個數回原式，便能檢查方向有否弄錯。
- 兩邊乘以或除以負數時，不等號要反轉；加減任何數或乘除正數則不變。
- 把含 x 的項移到係數為正數的一邊，便可避免除以負數。
- 「和」取兩個解的重疊部分，「或」取兩者合起來的範圍。
- 二次不等式先找兩根，二次項係數為正時「< 0」取兩根之間，「> 0」取兩根之外。
- 以代數方法解二次不等式和線性規畫屬非基礎課題，文憑試只在乙部出現。
- 在答案範圍內外各代一個數回原式，可檢查方向有否弄錯。
- 6 小時初中「一元一次不等式」建議教學時數來源：初中數學科學習內容（數學教育學習領域課程指引補充文件，2017）
- 16 小時高中「不等式與線性規畫」建議教學時數來源：高中數學科學習內容（數學教育學習領域課程指引補充文件，2017）
- 只在乙部文憑試的非基礎課題來源：2027年香港中學文憑考試 數學 評核大綱
不等式在中學課程的哪裏？
不等式分兩個階段學習。初中的「一元一次不等式」單元建議教學時數為 6 小時，內容包括以不等式表達文字語句、在數線上表示 x > a、x ≥ a、x < a 和 x ≤ a、認識不等式的基本性質，以及解一元一次不等式和有關的應用題。
高中數學必修部分的「不等式與線性規畫」單元建議教學時數為 16 小時，包括涉及邏輯連詞「和」或「或」的複合一元一次不等式、三角不等式、以圖解法和代數方法解一元二次不等式、二元一次不等式的圖像，以及線性規畫應用題。其中以代數方法解一元二次不等式、二元一次不等式和線性規畫屬非基礎課題。在小芽的課程中，一元一次不等式放在中三，這個高中單元放在中五。
這個分別對文憑試有直接影響。卷一和卷二的甲部只考基礎課題，乙部則包括基礎及非基礎課題。換言之，複合不等式和用圖解法解二次不等式可在甲部出現，而以代數方法解二次不等式和線性規畫只會在乙部出現。
| 階段 | 學習重點 | 基礎／非基礎 |
|---|---|---|
| 初中 | 一元一次不等式：文字語句、數線、基本性質、解不等式、應用題 | 基礎 |
| 高中必修 | 複合一元一次不等式（「和」、「或」）、三角不等式 | 基礎 |
| 高中必修 | 以圖解法解一元二次不等式 | 基礎 |
| 高中必修 | 以代數方法解一元二次不等式 | 非基礎 |
| 高中必修 | 二元一次不等式的圖像、聯立二元一次不等式、線性規畫應用題 | 非基礎 |
基本性質：為甚麼乘除負數要反轉不等號？
課程列出的不等式基本性質包括：若 a > b 和 b > c，則 a > c；若 a > b，則 a ± c > b ± c；若 a > b 而 c 是正數，則 ac > bc；若 c 是負數，則 ac < bc，除法的情況相同。換言之，加減任何數、乘除正數，方向都不變；只有乘除負數，方向才要反轉。
原因可以從數線理解。3 > 2，但兩邊乘以 −1 後，−3 卻在 −2 的左邊，即 −3 < −2。乘以負數等於把整條數線左右翻轉，數的次序也跟着倒轉，所以不等號必須反轉。例如 −2x > 6，兩邊除以 −2，得 x < −3；若寫成 x > −3，就是漏了反轉。
一個較穩妥的做法，是把含 x 的項移到係數為正數的一邊，這樣便不用除以負數。例如 5 − 3x ≥ 2x − 10，可以兩邊加 3x 再加 10，得 15 ≥ 5x，即 x ≤ 3，整個過程都沒有除以負數。
解一元一次不等式和應用題
一元一次不等式的步驟和一元一次方程相同：去括號、移項、合併同類項，最後除以 x 的係數，只是要留意最後一步的係數是正是負。例如 3(x − 1) ≤ 5x + 7：去括號得 3x − 3 ≤ 5x + 7；兩邊減 3x 再減 7，得 −10 ≤ 2x；兩邊除以正數 2，得 x ≥ −5。
有分數的不等式，先把兩邊乘以各分母的最小公倍數。例如 (x − 1)/2 − (x + 2)/3 > 1，兩邊乘以 6 得 3(x − 1) − 2(x + 2) > 6，即 3x − 3 − 2x − 4 > 6，所以 x > 13。乘的是正數 6，方向不變。
應用題要把「最少」、「最多」、「不多於」、「不少於」等字眼寫成不等式，課程亦要求學生以不等式表達文字語句。例如：每本筆記簿 12 元，已買了一個 25 元的筆袋，總共最多花 100 元，最多可再買多少本？設買 n 本，則 12n + 25 ≤ 100，即 12n ≤ 75，n ≤ 6.25。由於 n 是整數，最多可買 6 本。這類「最大整數」的題目，答案要從數線上讀出，不能把 6.25 四捨五入。
在數線上表示答案時，> 或 < 用空心圓點，表示端點不包括在內；≥ 或 ≤ 用實心圓點，表示端點包括在內。
複合不等式：邏輯連詞「和」與「或」
高中課程要求學生解涉及邏輯連詞「和」或「或」的複合不等式（不少課本把「和」寫作「及」）。方法是先分別解每一部分，再把兩個解畫在同一條數線上：「和」表示兩個條件同時成立，只取重疊的部分；「或」表示其中一個成立便可，取兩者合起來的範圍。
例一（和）：2x − 1 > 3 和 x + 4 ≤ 10。分別解得 x > 2 和 x ≤ 6，重疊部分是 2 < x ≤ 6。例二（或）：3 − x > 5 或 2x ≥ 8。分別解得 x < −2 或 x ≥ 4，答案就是這兩段，中間 −2 ≤ x < 4 的部分不屬於答案。例三：x > 5 和 x < 1，兩段在數線上沒有重疊，所以沒有解。
三角不等式也屬這個學習重點：三角形任意兩邊之和大於第三邊。若三邊是 4、7 和 x，便有 4 + 7 > x、4 + x > 7 和 7 + x > 4，合起來得 3 < x < 11，即未知的邊介乎另外兩邊之差與之和之間。
一元二次不等式：先找兩個根，再看拋物線
課程分開列出以圖解法和以代數方法解一元二次不等式，前者屬基礎課題，後者屬非基礎課題。兩種方法的起點相同：把所有項移到同一邊，使另一邊為 0，然後因式分解，或用二次公式求出兩個根。
圖解法：畫出 y = ax² + bx + c 通過兩個根的草圖。a > 0 時拋物線開口向上，「> 0」是曲線在 x 軸上方的部分，即兩根之外；「< 0」是曲線在 x 軸下方的部分，即兩根之間。例如 x² − 5x + 6 > 0，即 (x − 2)(x − 3) > 0，答案是 x < 2 或 x > 3；若改為 < 0，答案是 2 < x < 3。
代數方法：列出各因式在每段區間的正負號。以 (x + 2)(x − 3) 為例，x < −2 時兩個因式都是負數，乘積為正；−2 < x < 3 時乘積為負；x > 3 時乘積為正。所以 (x + 2)(x − 3) ≤ 0 的答案是 −2 ≤ x ≤ 3。
要留意三種情況。第一，二次項係數是負數時，先兩邊乘以 −1 並反轉不等號：−x² + x + 6 ≥ 0 變成 x² − x − 6 ≤ 0，答案是 −2 ≤ x ≤ 3。第二，不能因式分解時用二次公式：x² − 2x − 1 < 0 的兩個根是 1 ± √2，答案是 1 − √2 < x < 1 + √2。第三，判別式小於 0 時，曲線與 x 軸沒有交點：x² + 2x + 5 的判別式是 4 − 20 = −16，而拋物線開口向上，所以 x² + 2x + 5 > 0 對所有實數 x 成立，x² + 2x + 5 < 0 則沒有實數解。
高中課程亦要求學生運用 y = f(x) 的圖像解 f(x) > k 和 f(x) < k 等不等式，思路相同：看曲線在直線 y = k 上方還是下方。
- 數與代數不等式−2x > 6 ⇒ x < −3兩邊乘或除以負數，不等號要反轉
- 數與代數二次公式x = −b ± √b2 − 4ac2a解 ax2 + bx + c = 0
- 數與代數判別式Δ = b2 − 4acΔ > 0 兩個不相等實根；Δ = 0 兩個相等實根；Δ < 0 沒有實根
二元一次不等式與線性規畫（非基礎課題）
修讀非基礎課題的學生，還要學習在直角坐標平面上表示二元一次不等式的圖像、解聯立二元一次不等式和解線性規畫應用題。每條不等式代表直線一邊的區域，所有不等式同時成立的區域稱為可行解區域。
解線性規畫題的步驟：設定未知數；把限制條件寫成不等式，包括 x ≥ 0 和 y ≥ 0；畫出各條邊界線，找出可行解區域；解聯立方程求出區域的頂點；在每個頂點計算目標函數的值，最大值或最小值會在頂點出現。若答案必須是整數而頂點不是整數點，就要檢查區域內附近的整數點。
例子：在 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 6 和 x + 2y ≤ 8 的條件下，求 P = 3x + 4y 的最大值。可行解區域的頂點是 (0, 0)、(6, 0)、(0, 4)，以及 x + y = 6 與 x + 2y = 8 的交點 (4, 2)。代入得 P 分別是 0、18、16 和 20，所以最大值是 20，在 (4, 2) 出現。
檢查習慣和溫習方法
不等式的錯誤，多數來自步驟大意，而不是概念太深。做完每題後用下面的方法檢查，比盲目多做新題更有效。
準備一本錯題筆記，把每次漏改方向或混淆「和」與「或」的題目抄下，註明出錯原因，隔一段時間重做。家長陪子女溫習時，不必代為解題，可以請子女說出每一步的理由，特別是「這一步有沒有乘除負數」。如在課堂後仍然跟不上，可先重溫相關課題的短片和例題，再向老師請教；如正在考慮補習，也可先參閱補習指南。
- 圈出最後一步 x 的係數，看清楚是正數還是負數。
- 在答案範圍內和範圍外各代一個數回原式，看看是否一個成立、一個不成立。
- 檢查端點：答案的 ≤、≥ 與數線上的實心圓點一致，<、> 與空心圓點一致。
- 複合不等式先在數線上分別畫出兩段，再按「和」或「或」取答案。
- 二次不等式先確定二次項係數為正，再判斷取兩根之間還是之外。
常見問題
為甚麼乘以負數後不等號要反轉？
乘以負數等於把整條數線左右翻轉，原本較大的數會變成較小，例如 3 > 2 但 −3 < −2，所以不等號必須反轉。加減任何數或乘除正數則不會改變方向。
複合不等式的「和」與「或」怎樣分？
「和」（亦常寫作「及」）表示兩個條件同時成立，取數線上重疊的部分；「或」表示其中一個成立便可，取兩段合起來的範圍。若「和」的兩段沒有重疊，便沒有解。
二次不等式的答案怎樣判斷是在兩根之間還是之外？
先使二次項係數為正。這時拋物線開口向上，「< 0」或「≤ 0」取兩根之間，「> 0」或「≥ 0」取兩根之外。不肯定時，在每段區間各代一個數檢查。
文憑試會考線性規畫嗎？
線性規畫屬高中必修部分的非基礎課題。根據考評局評核大綱，卷一和卷二的甲部只考基礎課題，所以線性規畫和以代數方法解二次不等式只會在乙部出現；複合不等式和以圖解法解二次不等式則屬基礎課題。
不等式的英文用語是甚麼？
不等式是 inequality，一元一次不等式是 linear inequality in one unknown，複合不等式是 compound inequality，一元二次不等式是 quadratic inequality，可行解區域是 feasible region，線性規畫是 linear programming。用英文應考的學生宜一併記住。