續概率
集合記法和溫氏圖、加法定律和乘法定律、條件概率，以及用排列和組合求概率。整個單元屬非基礎課程。
學習重點
- 16.1 集合記法：並集、交集、補集；溫氏圖。
- 16.2 加法定律 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)；互斥事件和互補事件。
- 16.3 獨立事件的乘法定律 P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。
- 16.4 條件概率，運用 P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)。不需要學貝葉斯定理。
- 16.5 用排列和組合求概率。
重要詞彙
| 中文 | English |
|---|---|
| 併集，交集，補集 | union, intersection, complement |
| 溫氏圖 | Venn diagram |
| 互斥事件 | mutually exclusive events |
| 互補事件 | complementary events |
| 獨立事件 | independent events |
| 加法定律／乘法定律 | addition law / multiplication law |
| 條件概率 | conditional probability |
標準步驟
把文字寫成符號
| 文字 | 符號 |
|---|---|
| A 或 B（或兩者） | A ∪ B |
| A 和 B | A ∩ B |
| 非 A | A′ |
| 已知 B，A 發生 | A | B |
用哪條定律？
| 情況 | 定律 |
|---|---|
| 「或」 | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)。如果是互斥事件，P(A ∩ B) = 0。 |
| 「和」，獨立事件 | P(A ∩ B) = P(A) × P(B) |
| 「和」，非獨立事件（第二件事取決於第一件） | P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) |
| 「最少一個」 | 1 − P(一個也沒有) |
| 同時選取多件物件 | P = (事件的方法數) ÷ (所有方法數)，兩者都用 ⁿCᵣ |
- 在關鍵字下畫線：「或」、「和」、「已知」、「最少一個」。
- 遇到「和」，問自己第一件事的結果會否改變第二件事的機會。如果會，用 P(B | A)。
- 從上表選出定律，代入數值前先寫出定律。
從表中求條件概率
P(A | B) = (同時屬於 A 和 B 的數目) ÷ (屬於 B 的數目)。「已知」的部分成為新的總數。
- 找出「已知」條件 B 所在的行或列，它的總數就是新的分母。
- 在這一行或列中，讀出同時屬於 A 的數目。
- 相除：P(A | B) = n(A ∩ B) ÷ n(B)。
例題
例 1：袋中有 4 個紅球和 6 個藍球。隨機抽出三個球，求 P(最少有一個紅球)。
P(沒有紅球) = ⁶C₃ / ¹⁰C₃ = 20/120 = 1/6
P(最少有一個紅球) = 1 − 1/6 = 5/6例 2：60% 的學生乘巴士上學。乘巴士的學生中有 30% 遲到；其他學生中有 10% 遲到。求 P(一名學生遲到)。
P(乘巴士和遲到) = 0.6 × 0.3 = 0.18
P(不乘巴士和遲到) = 0.4 × 0.1 = 0.04
P(遲到) = 0.18 + 0.04 = 0.22例 3：一班 40 人中有 25 人喜歡喝茶，這 25 人中有 10 名女生。從喜歡喝茶的學生中選出一人，求 P(女生 | 喜歡喝茶)。
10/25 = 2/5。
例 4：P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，P(A ∩ B) = 0.2。求 P(A ∪ B)。A 和 B 是否獨立事件？
P(A ∪ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7
P(A) × P(B) = 0.2 = P(A ∩ B)，所以 A 和 B 是獨立事件例 5：從表中求條件概率：調查 60 名學生上學的方式。
| 巴士 | 步行 | 總數 | |
|---|---|---|---|
| 遲到 | 9 | 3 | 12 |
| 準時 | 21 | 27 | 48 |
| 總數 | 30 | 30 | 60 |
P(遲到 | 巴士) = 9/30 = 3/10 「已知乘巴士」：巴士一列的總數 30 是新的總數
P(巴士 | 遲到) = 9/12 = 3/4 「已知遲到」：遲到一行的總數 12 是新的總數兩個答案不同：P(A | B) 與 P(B | A) 並不相同。
常見錯誤
- 把「互斥」和「獨立」當作同一回事（兩者幾乎相反）。
- 計算「或」時直接把 P(A) + P(B) 相加，沒有減去重疊的部分。
- 計算條件概率時除以整體總數，而不是「已知」那一組的數目。
- 分子用 ⁿPᵣ，分母卻用 ⁿCᵣ（前後要一致）。
DSE 怎樣考
- 乙部：用 ⁿCᵣ 的短概率題，或含條件概率部分的兩階段情境。
- 卷二乙部：溫氏圖、判斷是否獨立、「最少一個」。
不敢問的問題
互斥和獨立有甚麼分別？
互斥：兩件事不能同時發生。獨立：一件事發生與否，不會改變另一件事的機會。如果兩件事互斥（而且各自都可能發生），它們就不是獨立的：一件發生了，另一件就不可能發生。
為甚麼『已知』的部分會成為總數？
「已知」表示我們已經知道自己在那一組之內，所以只在那一組內點算。
網上影片有教貝葉斯定理，需要學嗎？
不需要，課程不包括。「P(巴士 | 遲到)」一類題目仍然可以用樹形圖和 P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) 解決。