直線方程怎樣求？點斜式、兩點式、斜截式與一般式的寫法、互換和例題
直線方程是高中數學必修部分的一個單元，教育局建議在中四首學期教授，所有學習重點都屬基礎課題。求直線方程只需兩項資料：斜率和直線上一點，或者直線上兩點。點斜式 y − y₁ = m(x − x₁) 最常用，斜截式 y = mx + c 方便讀出斜率和 y 截距，一般式 Ax + By + C = 0 則可表示所有直線，包括鉛垂線。初中學過的距離、中點和斜率公式是這個課題的基礎；兩條直線的交點可用聯立方程求出。每次得出方程後，把已知點代回檢查，便能找出大部分錯誤。
- 直線方程是高中必修的基礎課題，課程文件建議在中四首學期教授。
- 求方程只需斜率和一點，或者兩點；先求斜率，再用點斜式最穩妥。
- 一般式 Ax + By + C = 0 可表示所有直線，令 x = 0 或 y = 0 便可求截距。
- 兩直線斜率不同便相交於一點，斜率相同而截距不同便平行。
- 內分點（截點）公式屬初中非基礎課題，文憑試甲部只考基礎課題。
- 每次得出方程後，把已知點代回檢查。
- 7 小時高中「直線方程」建議教學時數來源：高中數學科學習內容（數學教育學習領域課程指引補充文件，2017）
- 中四首學期課程文件建議的教授時間來源：高中數學科學習內容（數學教育學習領域課程指引補充文件，2017）
- 2¼ 小時文憑試數學卷一考試時間來源：2027年香港中學文憑考試 數學 評核大綱
直線方程在課程的哪裏？初中打基礎，中四學方程
直線方程分兩個階段學習。初中的「直角坐標系」單元先教距離公式、中點公式和斜率公式，並要求學生從兩線的斜率辨認平行線和垂直線，以及認識截距的概念；其中內分點公式屬非基礎課題。這些公式是之後求直線方程的工具。
到了高中，「直線方程」是數學必修部分度量、圖形與空間範疇的一個單元，建議教學時數為 7 小時，課程文件建議教師於中四首學期教授。學生要在已知兩點、已知斜率和一點，或已知斜率和 y 截距的情況下求直線的方程，並能由方程說出直線的斜率、與兩軸的截距，以及某點是否在直線上；另外要認識斜率與傾角的關係，並從方程判斷兩直線交點的數目。法線式不在課程之內。
在文憑試中，數學必修部分分為卷一（傳統題，佔 65%，2¼ 小時）和卷二（多項選擇題，佔 35%，1¼ 小時）。兩卷的甲部只考基礎課題，乙部則包括基礎及非基礎課題。直線方程的學習重點全屬基礎課題，所以兩部都可能出現；它也是之後圓方程單元中求直線與圓交點和切線方程的基礎。
| 階段 | 單元 | 學習重點 | 基礎／非基礎 |
|---|---|---|---|
| 初中 | 直角坐標系 | 距離公式、中點公式、斜率公式、截距、平行線和垂直線的斜率關係 | 基礎 |
| 初中 | 直角坐標系 | 內分點公式（不少課本稱為截點公式） | 非基礎 |
| 高中必修（中四） | 直線方程 | 由兩點、斜率和一點、斜率和 y 截距求方程；由方程讀出斜率、截距；判斷點是否在線上；斜率與傾角；兩直線的交點數目 | 基礎 |
先溫好四條坐標公式：距離、中點、斜率和內分點
設平面上兩點 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)。距離 AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]，來自對水平距離和鉛垂距離用畢氏定理；中點是兩端坐標的平均值 ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)；斜率 m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)，即鉛垂變化除以水平變化。
以 A(−2, 1) 和 B(4, 9) 為例：水平距離是 4 − (−2) = 6，鉛垂距離是 9 − 1 = 8，所以 AB = √(36 + 64) = 10；中點是 (1, 5)；斜率是 8 ÷ 6 = 4/3。代入負數坐標時要加括號，寫成 4 − (−2)，才不會漏掉負號。
內分點公式（不少課本和溫習網站稱為截點公式）求把 AB 分成 r : s 的點 P，即 AP : PB = r : s：P = ((s·x₁ + r·x₂)/(r + s), (s·y₁ + r·y₂)/(r + s))。若 AP : PB = 1 : 3，則 P = ((3 × (−2) + 1 × 4)/4, (3 × 1 + 1 × 9)/4) = (−1/2, 3)。檢查：由 A 走到 B 的四分之一路程，x 增加 6 ÷ 4 = 1.5，y 增加 8 ÷ 4 = 2，同樣得到 (−0.5, 3)。留意公式中 x₁ 配的是 s，不是 r。
兩條非鉛垂的直線，若斜率相等便互相平行；若斜率相乘等於 −1，便互相垂直。三點是否共線，也可以比較 AB 和 BC 的斜率：斜率相等而且有公共點 B，三點便在同一直線上。經過原點的直線（鉛垂線除外）可寫成 y = mx，因為它的 y 截距是 0。
- 度量、圖形與空間兩點距離與中點d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2中點 = (x1 + x22, y1 + y22)
- 度量、圖形與空間斜率m = y2 − y1x2 − x1平行：m1 = m2；垂直：m1m2 = −1
- 度量、圖形與空間內分點P = (sx1 + rx2r + s, sy1 + ry2r + s)P 在 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) 之間，AP : PB = r : s
- 度量、圖形與空間直線方程y − y1 = m(x − x1)
y = mx + c一般式 Ax + By + C = 0，斜率 = −AB
求直線方程：已知甚麼，就用哪種寫法
一條直線由兩項資料決定：斜率和線上一點，或者線上兩點。課程要求學生在已知兩點、已知斜率和一點，或已知斜率和 y 截距時求直線的方程。下表列出常見的已知條件和對應的寫法，每個例子都可以把已知點代回去檢查。
例題：求經過 A(−2, 1) 和 B(4, 9) 的直線方程。先求斜率 m = (9 − 1)/(4 − (−2)) = 4/3；再用點斜式 y − 1 = (4/3)(x + 2)；兩邊乘以 3 得 3y − 3 = 4x + 8，整理成一般式 4x − 3y + 11 = 0。檢查：代入 A，−8 − 3 + 11 = 0；代入 B，16 − 27 + 11 = 0，兩點都在直線上。
再進一步，求 AB 的垂直平分線。它經過 AB 的中點 (1, 5)，斜率是 4/3 的負倒數 −3/4，所以 y − 5 = (−3/4)(x − 1)，即 4y − 20 = −3x + 3，整理得 3x + 4y − 23 = 0。代入 (1, 5)：3 + 20 − 23 = 0。這類結合中點、斜率和直線方程的題目，在坐標幾何中十分常見。
截距式 x/a + y/b = 1 適用於已知 x 截距 a 和 y 截距 b（兩者都不是 0）的情況，它其實是兩點式的特例，因為直線經過 (a, 0) 和 (0, b)。例如 x 截距是 3、y 截距是 6，則 x/3 + y/6 = 1，兩邊乘以 6 得 2x + y − 6 = 0。
| 已知條件 | 寫法 | 例子 |
|---|---|---|
| 斜率 m 和一點 (x₁, y₁) | 點斜式 y − y₁ = m(x − x₁) | 斜率 2，經過 (3, 5)：y − 5 = 2(x − 3)，即 y = 2x − 1 |
| 兩點 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) | 兩點式：先求 m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)，再用點斜式 | 經過 (1, 2) 和 (3, 8)：m = 3，y − 2 = 3(x − 1)，即 y = 3x − 1 |
| 斜率 m 和 y 截距 c | 斜截式 y = mx + c | 斜率 −1/2，y 截距 4：y = −x/2 + 4，即 x + 2y − 8 = 0 |
| x 截距 a 和 y 截距 b（a、b 不是 0） | 截距式 x/a + y/b = 1 | x 截距 3，y 截距 6：2x + y − 6 = 0 |
| 經過原點，斜率 m | y = mx | 斜率 −3：y = −3x，即 3x + y = 0 |
一般式 Ax + By + C = 0：讀出斜率、截距，判斷點是否在線上
一般式 Ax + By + C = 0（A、B 不同時為 0）可以表示所有直線。題目沒有指定形式時，習慣上會寫成整數係數，而且 A 為正數，方便核對。課程要求學生由直線方程描述直線的特徵，包括斜率、與兩軸的截距，以及某點是否在該直線上。
當 B 不是 0 時，斜率 = −A/B，y 截距 = −C/B，x 截距 = −C/A（A 不是 0 時）。以 4x − 3y + 11 = 0 為例：斜率 = −4/(−3) = 4/3；令 x = 0，得 −3y + 11 = 0，y 截距 = 11/3；令 y = 0，得 4x + 11 = 0，x 截距 = −11/4。與其死記公式，不如自己代入 x = 0 和 y = 0，較少出錯。
要判斷某點是否在直線上，把該點代入方程即可。點 (1, 5) 代入 4x − 3y + 11，得 4 − 15 + 11 = 0，所以在直線上；點 (2, 6) 代入，得 8 − 18 + 11 = 1，不等於 0，所以不在直線上。
特殊情況要分清楚：水平線 y = k 的斜率是 0；鉛垂線 x = k 的斜率不存在，不能寫成斜截式，只能寫成 x = k，即一般式中 B = 0 的情況。斜率與傾角 θ 的關係是 m = tan θ，例如斜率 1 的直線傾角是 45°，斜率 4/3 的直線傾角約為 53.1°。
兩條直線：相交、平行還是重合？
課程要求學生從直線方程判斷兩直線相交時交點的數目。方法是比較斜率和截距：斜率不同，兩線剛好相交於一點；斜率相同而截距不同，兩線平行，沒有交點；斜率和截距都相同，兩條方程其實代表同一直線，有無限多個交點。
要求交點的坐標，就解兩條方程的聯立方程。例如 L₁：y = 2x − 1 和 L₂：x + y − 5 = 0。把 L₁ 代入 L₂，得 x + 2x − 1 − 5 = 0，x = 2，再得 y = 3，交點是 (2, 3)。檢查：2 × 2 − 1 = 3，而 2 + 3 − 5 = 0，兩條方程都成立。
再看 2x − y + 3 = 0 和 4x − 2y − 1 = 0：兩線的斜率都是 2，y 截距分別是 3 和 −1/2，所以兩線平行，沒有交點；若硬解聯立方程，會得出 0 = 7 這類不成立的式子。至於 y = 2x − 1 和 x + 2y − 6 = 0，斜率分別是 2 和 −1/2，相乘等於 −1，所以兩線互相垂直。
常見錯誤和檢查方法
直線方程的錯誤，大多不是概念問題，而是符號和運算上的大意。做完一題後花半分鐘檢查，通常就能找出錯處。以下是最常見的幾種情況。
如在課堂後仍然對某幾種寫法感到混亂，可以先按課題重溫短片和例題，再向學校老師請教；如正在考慮補習，也可先參閱補習指南，了解不同形式的分別。
- 點斜式代入負數坐標：經過 (−2, 1) 時應寫 y − 1 = m(x + 2)，不是 x − 2。
- 展開括號漏乘：y − 5 = 2(x − 3) 應展開成 y − 5 = 2x − 6，不是 2x − 3。
- 斜率公式上下次序不一致：分子用 y₂ − y₁，分母就要用 x₂ − x₁。
- 把鉛垂線寫成斜截式：x = k 的斜率不存在，只能寫成 x = k。
- 內分點公式配錯比：AP : PB = r : s 時，x₁ 配 s，x₂ 配 r。
- 檢查方法：把已知點代回最後的方程，再核對斜率是否與題目一致。
常見問題
直線方程是中幾的課題？
距離、中點和斜率公式在初中的「直角坐標系」單元學習；「直線方程」是高中數學必修部分的單元，課程文件建議教師於中四首學期教授，建議教學時數為 7 小時。
截點公式是甚麼？
截點公式即課程文件中的內分點公式，用來求把線段 AB 分成 r : s 的點：P = ((s·x₁ + r·x₂)/(r + s), (s·y₁ + r·y₂)/(r + s))。它在初中課程中屬非基礎課題。
點斜式和斜截式應該先學哪一種？
兩者都是同一條直線的不同寫法。斜截式直接顯示斜率和 y 截距，較容易理解；點斜式則最適合已知斜率和一點的題目。熟練後再學一般式，便可處理鉛垂線等特殊情況。
為甚麼鉛垂線不能寫成斜截式？
鉛垂線上所有點的 x 坐標相同，水平變化是 0，斜率不存在，所以不能寫成 y = mx + c，只能寫成 x = k，即一般式中 B = 0 的情況。
文憑試會怎樣考直線方程？
直線方程的學習重點全屬基礎課題，所以可在卷一和卷二的甲部或乙部出現。卷一佔 65%，考 2¼ 小時；卷二是多項選擇題，佔 35%，考 1¼ 小時。之後的圓方程單元也要用到直線方程，例如求直線與圓的交點和切線方程。